כפל

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

כֶּפֶל הוא פעולה בין מספרים, ובאופן כללי יותר פעולה בינארית על מבנים אלגבריים כלליים. כפל הוא אחד מארבע פעולות החשבון (יחד עם חיבור, חיסור, וחילוק). כמה מהתכונות הבסיסיות של כפל של מספרים משמשות מודל אקסיומטי למבנים אלגבריים מרכזיים, כמו חבורות או חוגים.

3 × 4 = 12, כך ש-12 נקודות מסודרות בשלוש שורות ובארבעה טורים.

כפל של מספרים טבעיים הוא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 4 כפול 3 הוא הסכום $3+3+3+3=12\!\,$, ובאופן כללי "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים או הסכום של a קבוצות שגודל כל אחת מהן הוא b. במערכת פאנו המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר באינדוקציה בעזרת פעולת החיבור: $\ a\cdot 0=0$, ו- $\ a\cdot (b+1)=a\cdot b+a$.

את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל למערכות מספרים גדולות יותר: במספרים הרציונליים הכפל של השברים $\ {\frac {a}{b}}$ ו- $\ {\frac {c}{d}}$ הוא השבר $\ {\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$. במספרים המרוכבים הכפל נובע מן הדיסטריבוטיביות ביחס לחיבור ומההנחה ש-$\ i\cdot i=-1$ כי: $\ (a+bi)\cdot (c+di)=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i$.

השטח של מלבן מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב או כמכפלת הרוחב שלו באורך - בשתי הדרכים נקבל אותה תוצאה. באותו אופן אפשר להגדיר גם נפח של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה), ואף נפחים בממימד גבוה יותר.

המספרים שמוכפלים נקראים "גורמים" או "מספרים נכפלים". כשכופלים, המספר המוכפל נקרא "מספר נכפל" והמספר של הכפולה נקרא "כופל" (למשל 4 כפול 3, ה-4 נקרא נכפל וה-3 נקרא כופל). באלגברה, המספר המכפיל משתנה (למשל 3 ב-3xy²) נקרא מקדם. הפעולה ההפוכה לכפל היא החילוק: אומרים ש-"a לחלק ל-b הם c" אם b כפול c שווה ל-a.

במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו חבורה למחצה, מונואיד או חבורה, מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו חוג או שדה, מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.

סימון ומונחים

סימנו של הכפל

את הכפל מסמנים בסימן "×" או בסימן "·" בין הגורמים המוכפלים. לדוגמה, $2\times 3=6$ (במילים, "שתי פעמים 3 שווה ל-6", או "שתיים כפול שלוש שווה ל-6"). לפי כללי קדימות אופרטורים הכפל קודם לחיבור ולחיסור בסדר הפעולות: $\ a\times b+c=(a\times b)+c$. הכפל הוא אסוציאטיבי, ולכן אין צורך להנחות באמצעות סוגריים בביטוי שיש בו כמה פעולות כפל: $\,1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$. באלגברה משמיטים לפעמים את סימן הכפל כליל, ורישום משתנים בסמיכות מייצג כפל שלהם (למשל XY שווה ל-X פעמים Y, ו-5X שווה לחמש פעמים X).

בשפות תכנות רבות מסומנת פעולת הכפל בכוכבית (כמו ב 2*5) מכיוון שהיא מופיעה בכל סוגי לוחות המקשים. החלה בכך שפת התכנות Fortran.

הסימון לכפל גורמים רבים

כפל סדרתי של איברים מסומן בסימן הַמַּכְפֵּלָה, שהוא האות Π (פאי) גדולה באלפבית היווני: $\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$. הציון התחתי (במקרה זה, האות i) מציין פרמטר, המופיע עם הגבול התחתי (m), ואילו הכתב העילי מציין את הגבול העליון (n). ערך הביטוי הוא המכפלה של הגורמים $\ x_{i}$ עבור ערכי הפרמטר מן הגבול התחתון לעליון. לדוגמה, $\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.$. במקרה ש-m = n, התוצאה של המכפלה היא x_m. אם m > n, זוהי מכפלה ריקה, ומוסכם שערכה 1.

בעוד שמכפלות סופיות אפשר להגדיר באינדוקציה, המכפלה האינסופית (שבה הגבול העליון, למשל, הוא אינסוף), אינה מוגדרת בכל מקרה. כאשר מכפילים מספרים ממשיים, המכפלה האינסופית מוגדרת כגבול של סדרת המכפלות הסופיות, כאשר n שואף לאינסוף. כלומר, $\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$.

תכונות של פעולת הכפל

המחשה חזותית של חוק הפילוג בפעולת הכפל

לפעולת הכפל בין מספרים תכונות אלגבריות חשובות:

• כפל הוא פעולה אסוציאטיבית, אין חשיבות למיקום הסוגריים בכפל: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$.
• כפל הוא פעולה קומוטטיבית, אין חשיבות לסדר המוכפלים: $\,x\cdot y=y\cdot x$.
• יש איבר יחידה ביחס לכפל, המספר 1: $1\cdot x=x\cdot 1=x$.
• חל חוק הצמצום על מספרים ששונים מ-0: אם $x\cdot y=x\cdot z$ כאשר $x\neq 0$, אז $y=z$.
• ביחס ל-0 מתקיים: $\ x\cdot 0=0\cdot x=0$.
• מתקיים חוק הפילוג: $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.
• כפל ב--1 נותן את המספר הנגדי: $\,(-1)\cdot x=-x$.
• מכפלה של מספרים חיוביים היא מספר חיובי; הכפל במספר חיובי שומר על יחס הסדר (היחס >), בעוד שכפל במספר שלילי הופך את הסדר.
• לכל מספר שונה מ-0 יש מספר הופכי: לכל $x\neq 0$ קיים $y$ כך ש-$xy=1$. תכונה זו מתקיימת בכפל בשדה המספרים הרציונליים ובשדה המספרים הממשיים, אך אינה מתקיימת בכפל בקבוצת המספרים הטבעיים ובחוג המספרים השלמים.

לוח הכפל

ערך מורחב – לוח הכפל

The Educated Monkey
צעצוע מכני ממתכת משנת 1918 לחישובי לוח הכפל.
לדוגמה: אצבעות הרגליים מצביעות על 4 כפול 9, בידיים רואים תוצאה 36.

הגדרה נאיבית של פעולת הכפל נעשית באמצעות לוח הכפל, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת הכפל, הקרויה מכפלה, על כל שני מספרים אפשריים שכל אחד מהם בן ספרה אחת.

לוח הכפל
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	$\!\,\times$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1
18	16	14	12	10	8	6	4	2	0	2
27	24	21	18	15	12	9	6	3	0	3
36	32	28	24	20	16	12	8	4	0	4
45	40	35	30	25	20	15	10	5	0	5
54	48	42	36	30	24	18	12	6	0	6
63	56	49	42	35	28	21	14	7	0	7
72	64	56	48	40	32	24	16	8	0	8
81	72	63	54	45	36	27	18	9	0	9

הערה: לוח הכפל המוכר יותר (שחיבורו מיוחס לפיתגורס) עוסק במכפלות בתחום 1-10, ולא בתחום 0-9 כפי שמוצג כאן. אין טעם טכני בהצגת מכפלות של 10, משום שאלה הן כבר מכפלות של מספר בן שתי ספרות, שאותן ניתן לבצע לפי לוח הכפל המופיע כאן, והכללים לכפל של מספרים בני יותר מספרה אחת.

ראו גם

• עקרון הכפל
• מכפלה וקטורית
• מכפלה סקלרית
• כפל מטריצות
• מכפלה טנזורית
• מכפלה קרטזית
• מבחן בדיקה של מכפלות בעזרת סכום ספרות סופי
• עצמות נפייר

קישורים חיצוניים

- משחק לימודי מאתגר בלוח הכפל

• Re: Visual Multiplication and 48/2(9+3) - וי הארט מסבירה על שיטות לפתירת תרגילי כפל: מאונך מול חזותי