מעוין

מעוין הוא מרובע שווה-צלעות. מעוין הוא מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

תכונות המעוין

• כל הצלעות שוות באורכן. דוגמה לשוות: (AB = BC = CD = DA).
• צלעות נגדיות מקבילות (AB || CD ; BC || DA).
• זוויות נגדיות שוות זו לזו ($\angle A=\angle C;\angle B=\angle D$).
• האלכסונים מאונכים זה לזה ($AC\perp BD$).
• האלכסונים חוצים זה את זה (AO = CO; BO = DO).
• האלכסונים חוצים את זוויות המעוין.
• כל הגבהים שווים בארכם.
• היקף המעוין שווה לאורך הצלע כפול 4 ($\ P=4a$).
• בכל מעוין ניתן לחסום מעגל.
• חבורת הסימטריות של מעוין שאינו ריבוע היא חבורת הארבעה של קליין.

משפטים הפוכים

• מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין.
• מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
• מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
• מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

שטח המעוין

מעוין

קיימות דרכים אחדות לחישוב שטח המעוין:

• מחצית מכפלת האלכסונים זה בזה. נובע מכך שהאלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית.
• אורך צלע כפול הגובה (בציור: $K=a\cdot h$). בהתאם לנוסחה לחישוב שטח מקבילית.
• אורך צלע בריבוע כפול סינוס של אחת הזוויות. בציור: $K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta$
• הגובה בריבוע חלקי סינוס של אחת הזוויות. בציור: $K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},$
• חצי ההיקף של המעוין כפול רדיוס המעגל החסום. בציור: $K=2a\cdot r$

ראו גם

• ארגייל - דוגמת סריגה פופולרית של תבנית מעוינים

קישורים חיצוניים

• מעוין, באתר MathWorld (באנגלית)