מעוין – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←ריצוף המישור: מוויקי האנגלית |
←תכונות דואליות: מוויקי האנגלית |
||
שורה 51: | שורה 51: | ||
|[[File:Rhombic star tiling.png|154px]] |
|[[File:Rhombic star tiling.png|154px]] |
||
|} |
|} |
||
==תכונות דואליות== |
|||
ה[[מצולע דואלי|מצולע הדואלי]] של המעוין הוא ה[[מלבן]]: |
|||
* במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות. |
|||
* במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות. |
|||
* למעוין יש [[מעגל חסום]] ולמלבן יש [[מעגל חוסם]]. |
|||
* למעוין יש ציר [[סימטריה]] דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות. |
|||
* האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים. |
|||
* חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין. |
|||
== ראו גם == |
== ראו גם == |
גרסה מ־12:01, 26 באוקטובר 2019
מעוין הוא מרובע שווה-צלעות. מעוין הוא מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.
בגאומטריה אנליטית ניתן להגדיר מעוין, שאלכסוניו p ו-q מונחים על הצירים, כמקום הגאומטרי של הנקודות (x, y) שמקיימות:
- .
פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".
תכונות המעוין
- כל הצלעות שוות באורכן. בציור: AB = BC = CD = DA.
- צלעות נגדיות מקבילות (AB || CD ; BC || DA).
- זוויות נגדיות שוות זו לזו ().
- כל הגבהים שווים בארכם (בציור הגובה מסומן ב-h).
- היקף המעוין שווה לאורך הצלע כפול 4 ().
- בכל מעוין ניתן לחסום מעגל שרדיוסו
- חבורת הסימטריות של מעוין שאינו ריבוע היא חבורת הארבעה של קליין.
האלכסונים
- האלכסונים מאונכים זה לזה ().
- האלכסונים חוצים זה את זה (AS = CS; BS = DS).
- האלכסונים חוצים את זוויות המעוין.
את אורך האלכסונים p = AC ו- q = BD ניתן להציג לפי אורך הצלע ואחת הזוויות באמצעות הנוסחאות הבאות, שנובעות ממשפט הקוסינוסים:
שטח המעוין
קיימות דרכים אחדות לחישוב שטח המעוין:
- מחצית מכפלת האלכסונים זה בזה. נובע מכך שהאלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית.
- אורך צלע כפול הגובה (בציור: ). בהתאם לנוסחה לחישוב שטח מקבילית.
- אורך צלע בריבוע כפול סינוס של אחת הזוויות. בציור:
- הגובה בריבוע חלקי סינוס של אחת הזוויות. בציור:
- חצי ההיקף של המעוין כפול רדיוס המעגל החסום. בציור:
משפטים הפוכים
- מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין.
- מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
- מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
- מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.
ריצוף המישור
באמצעות מעוינים זהים ניתן ליצור ריצוף של המישור בשלוש דרכים:
ריצוף ששקול טופולוגית לריצןף ריבועי | ריצוף במעוינים שזוויותיהם 60 ו-120 מעלות | |
---|---|---|
תכונות דואליות
המצולע הדואלי של המעוין הוא המלבן:
- במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות.
- במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות.
- למעוין יש מעגל חסום ולמלבן יש מעגל חוסם.
- למעוין יש ציר סימטריה דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות.
- האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים.
- חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין.
ראו גם
קישורים חיצוניים
מצולעים ופאונים | ||
---|---|---|
מושגים | מצולע • פאון • קודקוד • צלע • מקצוע • פאה • זווית חיצונית • אלכסון | |
מצולעים | ||
לפי מספר צלעות | משולש • מרובע • מחומש • משושה • משובע • מתומן | |
משולשים | משולש ישר-זווית • משולש שווה-שוקיים • משולש שווה-צלעות | |
מרובעים | מקבילית • טרפז • טרפז שווה-שוקיים • מרובע ציקלי • דלתון • דלתון ריצוף • מעוין • מלבן • ריבוע | |
כוכבים | פנטגרם • מגן דוד • אניאגרם | |
תכונות | מצולע משוכלל • מצולע שווה-צלעות • מצולע קמור • כוכב | |
פאונים | ||
פאונים משוכללים | ארבעון • קובייה • תמניון • תריסרון • עשרימון | |
פאונים ארכימדיים | ארבעון קטום • קובוקטהדרון • קובייה קטומה • תמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת | |
פאונים אחרים | פירמידה • מנסרה • אנטי-מנסרה • מקבילון • מעוינון • תיבה • איקוסיטטרהדרון | |
תכונות | פאון משוכלל • פאון משוכלל למחצה • פאון ארכימדי | |
הכללות | ||
הכללות | סימפלקס • היפרקובייה • טסרקט |