מעגל תשע הנקודות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־19:28, 28 בינואר 2020

בגאומטריה, מעגל תשע הנקודות (נקרא גם "מעגל אוילר" או "מעגל פיירבך") הוא מעגל העובר במשולש כלשהו דרך תשע הנקודות הבאות:

אמצעי הצלעות
עקבי הגבהים, כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.

בשנת 1765 גילה לאונרד אוילר שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-1822 גילה קרל וילהלם פיירבך, שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים, והראה שהמעגל הזה משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש. זמן קצר לאחר מכן גילה אולרי טרקם שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.

בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: במשולש שווה-שוקיים ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש שווה-צלעות - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש ישר-זווית - חמש ובמשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ("משולש כסף") - ארבע.

במשולש שווה-צלעות, מעגל תשע הנקודות מתלכד עם המעגל החסום במשולש.

תכונות

המרכז של מעגל תשע הנקודות נמצא על ישר אוילר, באמצע הדרך בין מרכז המעגל החוסם ומפגש הגבהים.
אורכו של רדיוס מעגל תשע הנקודות שווה לחצי מרדיוס המעגל החוסם את המשולש.
המעגל משיק לארבעת המעגלים המשיקים למשולש (המעגל החסום ושלושת המעגלים המשיקים לצלעות מבחוץ).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מעגל תשע הנקודות בוויקישיתוף

מעגל פויירבאך, באתר מחלקה להוראת המדעים, מכון ויצמן למדע
מעגל תשע הנקודות, באתר MathWorld (באנגלית)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קובץ:Feuerbach Circle.jpeg|שמאל|ממוזער|350px|מעגל תשע הנקודות. תשע הנקודות מסומנות בכחול, הגבהים בירוק והמעגל באדום]]
 ב[[גאומטריה]], '''מעגל תשע הנקודות''' (נקרא גם "'''מעגל אוילר'''" או "'''מעגל פיירבך'''") הוא [[מעגל]] העובר ב[[משולש]] כלשהו דרך תשע ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] הבאות:
-* אמצעי ה[[צלעות]]
+* אמצעי ה[[צלע (גאומטריה)|צלעות]]
 * עקבי ה[[גובה (גאומטריה)|גבהים]], כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
 * אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.