לדלג לתוכן

משוואה דיפרנציאלית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
מ (מצא תחום מדעי בו אין שימוש במשוואות דיפרנציאליות....)
אין תקציר עריכה
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''משוואה דיפרנציאלית''' היא [[משוואה]] שבה ה[[נעלם]] הוא [[פונקציה]], כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ו[[נגזרת|נגזרותיה]]. למשוואות דיפרנציאליות שימוש רב בתחומי המדע וההנדסה השונים.
 
 
דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות בתחומים שונים
* משוואה המתארת את קצב התרבות חיידקים ברגע מסוים כתלות במספרם באותו רגע. הסבר לתלות, ככל שמספר החיידקים גדל כך קצב הריבוי קטן, ולהפך.
* משוואה המתארת [[תאוצה]] (קצב השתנות המהירות) של גוף נופל ברגע מסוים כתלות במהירות באותו רגע. ההסבר לכך הוא שהתנגדות האוויר גדלה באופן פרופורציונלי יחד עם מהירות הגוף, ולכן התאוצה קטנה.
 
==פתרון משוואה דיפרנציאלית==
ככלל, לא פשוט לפתור משוואה דיפרנציאלית. אין שיטה כללית לפתרון של משוואה כזו, ולעיתים ניתן להגיע רק לקירוב של הפתרון ולא לפתרון עצמו.
 
עם זאת, לסוגים מסוימים של משוואות יש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת [[אינטגרל]] לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וניתן לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.
באופן כללי, משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה <math>a_0(x)y'+a_1(x)y=f(x)</math> כאשר המשתנה בפונקציה שלנו הוא <math>y</math>. אם <math>a_0(x)\equiv 0</math> אזי הפונקציה ידועה ואין צורך להמשיך. (אומרים ש- <math>a_0(x)\equiv 0</math> אם מתקיים שלכל x בתחום, <math>a_0(x)=0</math>)
{{ש}}
לכן, נניח כי <math>a_0(x)\not\equiv 0</math>. לכן, מותר לחלק ב- <math>a_0(x)</math> ולקבל משוואה מהצורה <math>y'+\frac{a_1(x)}{a_0(x)}y=\frac{f(x)}{a_0(x)}</math>.
{{ש}}
נסמן <math>p(x)=\frac{a_1(x)}{a_0(x)}, q(x)=\frac{f(x)}{a_0(x)}</math> ונקבל משוואה מהצורה: <math>y'+p(x)\cdot y=q(x)</math> ולכן כשנרצה לפתור משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, נסתכל על הצורה הזאת.{{ש}}
<math>y=\frac{-\cos(x)}{x}+\frac{C}{x}</math>
 
ואכן, לכל <math> C \in \mathbb{R} </math> שנבחר, הפונקציה שתתקבל פותרת את המשוואה.
 
כעת, נרצה למצוא דרך לכל המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות מסדר ראשון.
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=משואה דיפרנציאלית}}
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLE90311B90F4B5D50 קורס מלא מוקלט "משוואות דיפרנציאליות רגילות" של פרופ אורי אליאש בטכניון], באתר YouTude
* [http://www.youtube.com/watch?v=GglEoWIHtZU&feature=list_related&playnext=1&list=SP941BB62BBB80CE21 הרצאות מוקלטות של פרופ' דניאל הרשקוביץ בטכניון על משוואות דיפרנציאליות רגילות], באתר [[יוטיוב]]
* {{MathWorld|OrdinaryDifferentialEquation|משוואה דיפרנציאלית רגילה}}
* {{MathWorld|PartialDifferentialEquation|משוואה דיפרנציאלית חלקית}}