לדלג לתוכן

קבוצות זרות – הבדלי גרסאות

נוספו 100 בתים ,  לפני שנתיים
מ
הגהה, עריכת נוסחאות
מ (תבנית)
מ (הגהה, עריכת נוסחאות)
[[קובץ:Conjuntos 02.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של שתי '''קבוצות זרות''': '''A''' ו-'''B''']]
 
ב[[מתמטיקה]], זוג [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] הן '''זרות''' אם אין להן איבר משותף. לדוגמה, <math>\left\{1, 2, 3\right\}</math> ו-<math>\left\{4, 5 ,6 \right\}</math>
<math>\left\{4, 5 ,6 \right\}</math>
הן קבוצות זרות.
== הסבר ==
על פי ההגדרה, זוג קבוצות ''<math>A''</math> ו ''-<math>B''</math> הן זרות אם ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] שלהן הוא [[הקבוצה הריקה]], כלומר אם מתקיים:
:: <math>A\cap B = \varnothing\,</math>
עבור כל אוסף של קבוצות מוגדר כי הקבוצות באוסף הן '''זרות בזוגות''' אם כל זוג קבוצות (שונות) באוסף הוא זר, כלומר לכל זוג אינדקסים שונים, <math>i</math> ו-<math>j</math>, מתקיים:
::<math>A_i \cap A_j = \varnothing\,</math>
 
לדוגמה, הקבוצות באוסף הקבוצות הבא <math>\{ \dots,\{13\}, \{2\}, \{31\}, ... \}</math> הן זרות בזוגות.
 
אם {''A''<submath>''i''\{A_i\}</submath>} הוא אוסף קבוצות זרות בזוגות אז החיתוך שלו הוא ריק,
:<math>\bigcap_{i\in I} A_i = \varnothing</math>
לעומת זאת, הכיוון ההפוך אינו נכון: החיתוך של האוסף <math>\{\{1, 23\}, \{2, 3,2\}, \{32, 1\}\}</math> הוא ריק, אך הקבוצות בו אינן זרות בזוגות, למעשה אין שום זוג קבוצות זרות באוסף.
 
== חלוקה ==
'''חלוקה''' של קבוצה היא פירוק של הקבוצה לאוסף של תת-קבוצות זרות שאיחודן הוא הקבוצה עצמה.
 
במילים אחרות, בהינתן קבוצה <math>X</math>, הקבוצות <math>A_1, A_2, \cdots, A_n \subset X</math> הן חלוקה של <math>X</math>, אם הן זרות בזוגות וכן :<math>\bigcap_{i=1}^n A_i = \varnothing</math>.{{ביאור|לשם הפשטות, ניתנה דוגמה של אוסף [[בן מניה]], אך חלוקה מוגדרת גם על אוסף לא בן-מניה של קבוצות.}}
 
== ראו גם ==