משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←‏נוסח פורמלי: תיקון קישור
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
←‏חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם: שיפור הנראות של הנוסחאות
שורה 12: שורה 12:
==חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם==
==חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם==


יהי X מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות <math>\ A_n</math> מהוות סדרה יורדת שבה '''הקוטר שואף לאפס''', אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות [[קומפקטיות]]: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות [[מרחב חסום לחלוטין|חסומות כליל]] תספיק, משום שהמרחב X שלם על-פי ההנחה.
יהי X מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות <math>\ A_n</math> מהוות סדרה יורדת שבה '''הקוטר שואף לאפס''', אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות [[קומפקטיות]]: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות [[מרחב חסום לחלוטין|חסומות כליל]] תספיק, משום שהמרחב <math>X</math> שלם על-פי ההנחה.


מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים <math>\ A_n=[n,\infty)</math> על [[הישר הממשי]]. אפילו אם הקבוצות [[מרחב חסום|חסומות]], החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות <math>\ A_n = \{e_n,e_{n+1},\dots\}</math> ב[[מרחב בנך]] <math>\ \ell_p</math>, כאשר <math>\ e_n</math> הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.
מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים <math>\ A_n=[n,\infty)</math> על [[הישר הממשי]]. אפילו אם הקבוצות [[מרחב חסום|חסומות]], החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות <math>\ A_n = \{e_n,e_{n+1},\dots\}</math> ב[[מרחב בנך]] <math>\ \ell_p</math>, כאשר <math>\ e_n</math> הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.
שורה 26: שורה 26:
===כיוון אחד===
===כיוון אחד===


נניח כי <math>\!\,X</math> מרחב מטרי שלם, ותהא <math>\left\{A_n\right\}_n</math> סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה <math>\left\{x_n\right\}_n</math> על ידי זה שנבחר מכל <math>\!\,A_n</math> איבר <math>\!\,x_n</math> כלשהו. נראה כי זוהי [[סדרת קושי]]: יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו. בגלל שמתקיים <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שהחל ממנו לכל <math>\!\,n>N</math> מתקיים <math>\!\,diam A_n<\epsilon</math>.
נניח כי <math>\!\,X</math> מרחב מטרי שלם, ותהא <math>\left\{A_n\right\}_n</math> סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה <math>\left\{x_n\right\}_n</math> על ידי זה שנבחר מכל <math>\!\,A_n</math> איבר <math>\!\,x_n</math> כלשהו. נראה כי זוהי [[סדרת קושי]]: יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו. בגלל שמתקיים <math>\lim_{n \to \infty} \operatorname{diam}(A_n) = 0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שהחל ממנו לכל <math>\!\,n>N</math> מתקיים <math>\operatorname{diam}(A_n) < \epsilon</math>.


כעת יהיו <math>\!\,m,n>N</math> כלשהם, ונניח [[ללא הגבלת הכלליות]] שמתקיים <math>\!\,m\le n</math>. אז <math>\!\,A_m\supseteq A_n</math> ולכן <math>\!\,x_n,x_m\isin A_m</math>. על כן <math>\!\,d(x_n,x_m)\le diamA_m<\epsilon</math> וזאת לכל <math>\!\,m,n>N</math>, ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב <math>\!\,X</math> שלם היא מתכנסת. נסמן <math>\!\,x_n\rarr x</math>.
כעת יהיו <math>m,n>N</math> כלשהם, ונניח [[ללא הגבלת הכלליות]] שמתקיים <math>m \leq n</math>. אז <math>A_m\supseteq A_n</math> ולכן <math>x_n,x_m \in A_m</math>. על כן <math>d(x_n,x_m) \leq \operatorname{diam}(A_m) < \epsilon</math> וזאת לכל <math>m,n > N</math>, ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב <math>X</math> שלם היא מתכנסת. נסמן <math>x_n \to x</math>.


נראה כי <math>\!\,x</math> שייך לכל הקבוצות. תהא <math>\!\,A_k</math> כלשהי, אז לכל <math>\!\,m\ge k</math> מתקיים <math>\!\,x_m\isin A_k</math>, כלומר הזנב של הסדרה <math>\!\,x_n</math>, החל מהאיבר <math>\!\,k</math>, שייך לקבוצה <math>\!\,A_k</math>. על כן, האיבר <math>\!\,x</math> הוא [[נקודת גבול]] של <math>\!\,A_k</math> (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה <math>\!\,A_k</math>). מכיוון ש<math>\!\,A_k</math> היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן <math>\!\,x\isin A_k</math>, וזאת לכל <math>\!\,k</math>, ולכן <math>\!\,x\isin\bigcap_n A_n</math>.
נראה כי <math>\!\,x</math> שייך לכל הקבוצות. תהא <math>A_k</math> כלשהי, אז לכל <math>m \geq k</math> מתקיים <math>x_m \in A_k</math>, כלומר הזנב של הסדרה <math>x_n</math>, החל מהאיבר <math>k</math>, שייך לקבוצה <math>A_k</math>. על כן, האיבר <math>x</math> הוא [[נקודת גבול]] של <math>A_k</math> (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה <math>A_k</math>). מכיוון ש-<math>A_k</math> היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן <math>x \in A_k</math>, וזאת לכל <math>\!\,k</math>, ולכן <math>x \in \bigcap_n A_n</math>.


נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי <math>\!\,x,y\isin\bigcap_n A_n</math>,אז לכל <math>\!\,k</math> מתקיים <math>\!\,x,y\isin A_k</math>. יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו, אז קיים <math>\!\,N</math> כלשהו כך ש<math>\!\,diamA_N<\epsilon</math>, ומכיוון ש<math>\!\,x,y\isin A_N</math>, ולכן <math>\!\,d(x,y)\le diamA_N<\epsilon</math>. כלומר <math>\!\,d(x,y)<\epsilon</math> לכל <math>\!\,\epsilon>0</math> ולכן בהכרח <math>\!\,d(x,y)=0</math> ומכאן, על פי תכונות ה[[מטריקה]], <math>\!\,x=y</math>.
נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי <math>x,y \in\bigcap_n A_n</math>,אז לכל <math>k</math> מתקיים <math>x,y \in A_k</math>. יהא <math>\epsilon>0</math> כלשהו, אז קיים <math>N</math> כלשהו כך ש-<math>\operatorname{diam}(A_N) < \epsilon</math>, ומכיוון ש<math>x,y \in A_N</math>, ולכן <math>d(x,y) \le \operatorname{diam}(A_N) < \epsilon</math>. כלומר <math>d(x,y)<\epsilon</math> לכל <math>\epsilon>0</math> ולכן בהכרח <math>d(x,y)=0</math> ומכאן, על פי תכונות ה[[מטריקה]], <math>x=y</math>.


===כיוון שני===
===כיוון שני===
שורה 39: שורה 39:




לכל איבר <math>\!\,x_n</math> בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\!\,A_n=Cl\left(\left\{x_m|m\ge n\right\}\right)</math> - [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]] של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר <math>\!\,x_n</math>. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.
לכל איבר <math>\!\,x_n</math> בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>A_n = \overline{\{x_m|m\ge n\}}</math> - [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]] של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר <math>\!\,x_n</math>. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים <math>A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.


אנו רוצים להוכיח כי <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה <math>\!\,A</math> מתקיים <math>\!\,diam A=diam Cl(A)</math>. ברור כי <math>\!\,diam A\le diam Cl(A)</math> (כי <math>\!\,Cl(A)</math> מכילה את <math>\!\,A</math>).
אנו רוצים להוכיח כי <math>\lim_{n \to\infty} \operatorname{diam}(A_n) = 0</math>. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה <math>\!\,A</math> מתקיים <math>\operatorname{diam}(A) = \operatorname{diam}(\bar{A})</math>. ברור כי <math>\operatorname{diam}(A) \leq \operatorname{diam}(\bar{A})</math> (כי <math>\bar{A}</math> מכילה את <math>A</math>).


יהיו <math>\!\,a,b\isin Cl(A)</math>, אז קיימות סדרות <math>\!\,\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}</math> שכל אבריהן שייכים לקבוצה <math>\!\,A</math> כך ש<math>\!\,a_n\rarr a, b_n\rarr b</math> זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל<math>\!\,A</math>, מתקיים <math>\!\,d(a_n,b_n)\le diamA</math> לכל <math>\!\,n</math>. לכן נקבל <math>\!\,d(a,b)\le diamA</math>, וזאת לכל <math>\!\,a,b\isin Cl(A)</math>, כלומר <math>\!\,diamCl(A)\le diamA</math>, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון <math>\!\,diam A=diam Cl(A)</math> המבוקש.
יהיו <math>a,b \in \bar{A}</math>, אז קיימות סדרות <math>\{a_n\},\{b_n\}</math> שכל אבריהן שייכים לקבוצה <math>A</math> כך ש-<math>a_n \to a, b_n \to b</math> זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל<math>\!\,A</math>, מתקיים <math>d(a_n,b_n) \leq \operatorname{diam}(A)</math> לכל <math>\!\,n</math>. לכן נקבל <math>d(a,b) \leq \operatorname{diam}(A)</math>, וזאת לכל <math>a,b \in \bar{A}</math>, כלומר <math>\operatorname{diam}(\bar{A}) \leq \operatorname{diam}(A)</math>, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון <math>\operatorname{diam}(A) = \operatorname{diam}(\bar{A})</math> המבוקש.


כעת, מכיוון ש<math>\!\,x_n</math> סדרת קושי, הרי שלכל <math>\!\,\epsilon>0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שלכל <math>\!\,m\ge N</math> מתקיים <math>\!\,d(x_N,x_m)<\epsilon</math>. לכן <math>\!\,diam \left\{x_k|k\ge N\right\}<\epsilon</math>, ולכן <math>\!\,diam A_n=diam Cl\left(\left\{x_k|k\ge N\right\}\right)<\epsilon</math>, וקיבלנו <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>.
כעת, מכיוון ש<math>x_n</math> סדרת קושי, הרי שלכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>N</math> כך שלכל <math>m \geq N</math> מתקיים <math>d(x_N,x_m) < \epsilon</math>. לכן <math>\operatorname{diam}(\{x_k|k\geq N\}) < \epsilon</math>, ולכן <math>\operatorname{diam}(A_n) = \operatorname{diam}(\overline{\{x_k \mid k \geq N\}}) < \epsilon</math>, וקיבלנו <math>\lim_{n \to \infty} \operatorname{diam}(A_n) = 0</math>.


כעת הראינו כי הסדרה <math>\!\,A_n</math> מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן <math>\!\,\bigcap_n A_n\ne\emptyset</math>. יהא <math>\!\,x\isin\bigcap_n A_n</math>, אז לכל <math>\!\,n</math> מתקיים <math>\!\,x\isin A_n</math>, ולכן <math>\!\,d(x,x_n)\le diam A_n\rarr 0</math>, כלומר <math>\!\,x_n\rarr x</math>, והראינו שסדרת קושי הנ"ל מתכנסת.
כעת הראינו כי הסדרה <math>A_n</math> מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן <math>\bigcap_n A_n \neq \emptyset</math>. יהא <math>x \in \bigcap_n A_n</math>, אז לכל <math>\!\,n</math> מתקיים <math>x \in A_n</math>, ולכן <math>d(x,x_n) \leq \operatorname{diam}(A_n) \to 0</math>, כלומר <math>x_n \to x</math>, והראינו שסדרת קושי הנ"ל מתכנסת.


[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]

גרסה מ־02:52, 27 במאי 2020

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה, משפט החיתוך של קנטור נותן תנאי שקול לשלמות של מרחב מטרי. משפט זה מהווה הכללה של הלמה של קנטור מחשבון אינפיניטסימלי, וקרוי על שמו של גאורג קנטור.

נוסח פורמלי

סדרה יורדת של קבוצות היא סדרת קבוצות מהצורה . קוטר של קבוצה במרחב מטרי הוא .

המשפט קובע כי מרחב מטרי הוא שלם אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות ולא ריקות במרחב בעלות קוטר ששואף לאפס, חיתוך כל קבוצות הסדרה אינו ריק. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.

דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל קבוצה סגורה ובת מניה של מספרים ממשיים, מכילה נקודה מבודדת. זאת כי אם קבוצה כזאת, באינדוקציה ניתן להראות שיש סדרה יורדת של קטעים סגורים , כך שהקטע נחתך עם אך לא מכיל את הנקודה . ממשפט החיתוך של קנטור עבור יש נקודה של בחיתוך, מה שמוביל לסתירה.

חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם

יהי X מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות מהוות סדרה יורדת שבה הקוטר שואף לאפס, אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות קומפקטיות: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות חסומות כליל תספיק, משום שהמרחב שלם על-פי ההנחה.

מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים על הישר הממשי. אפילו אם הקבוצות חסומות, החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות במרחב בנך , כאשר הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.

הוכחה

תקציר

כאשר המרחב שלם ו- היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר לבחור נקודה בכל קבוצה. מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת. מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן.

בכיוון ההפוך, תהי סדרת קושי נתונה. לכל קיים מקום שממנו והלאה המרחק בין שני איברים בסדרה אינו עולה על ; נבחר את הקבוצה להיות הכדור הסגור ברדיוס סביב נקודה רחוקה מספיק. קל להיווכח שסדרת הכדורים יורדת, ולפי ההנחה יש נקודה משותפת לכולם. זוהי נקודת גבול של הסדרה.

כיוון אחד

נניח כי מרחב מטרי שלם, ותהא סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה על ידי זה שנבחר מכל איבר כלשהו. נראה כי זוהי סדרת קושי: יהא כלשהו. בגלל שמתקיים קיים כך שהחל ממנו לכל מתקיים .

כעת יהיו כלשהם, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים . אז ולכן . על כן וזאת לכל , ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב שלם היא מתכנסת. נסמן .

נראה כי שייך לכל הקבוצות. תהא כלשהי, אז לכל מתקיים , כלומר הזנב של הסדרה , החל מהאיבר , שייך לקבוצה . על כן, האיבר הוא נקודת גבול של (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה ). מכיוון ש- היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן , וזאת לכל , ולכן .

נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי ,אז לכל מתקיים . יהא כלשהו, אז קיים כלשהו כך ש-, ומכיוון ש, ולכן . כלומר לכל ולכן בהכרח ומכאן, על פי תכונות המטריקה, .

כיוון שני

נניח כי הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם (ההוכחה שונה מעט מזו שניתנה לעיל). תהא סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.


לכל איבר בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: - הסגור של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר . זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.

אנו רוצים להוכיח כי . לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה מתקיים . ברור כי (כי מכילה את ).

יהיו , אז קיימות סדרות שכל אבריהן שייכים לקבוצה כך ש- זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל, מתקיים לכל . לכן נקבל , וזאת לכל , כלומר , וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון המבוקש.

כעת, מכיוון ש סדרת קושי, הרי שלכל קיים כך שלכל מתקיים . לכן , ולכן , וקיבלנו .

כעת הראינו כי הסדרה מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן . יהא , אז לכל מתקיים , ולכן , כלומר , והראינו שסדרת קושי הנ"ל מתכנסת.