198
עריכות
פונקציה עצמית – הבדלי גרסאות
הוספתי להסבר על היישומים
מ (לוקטורים->לווקטורים - תיקון תקלדה בקליק) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (הוספתי להסבר על היישומים) |
||
|
כתוצאה מכך, במקרים חשובים רבים, הפונקציות העצמיות של אופרטור הרמיטי יוצרות בסיס אורתונורמלי. במקרים אלו, פונקציה שרירותית יכולה צירוף ליניארי של הפונקציות העצמיות של האופרטור ההרמיטי.
== יישומים במשוואות דיפרנציאליות חלקיות==
אחד היישומים העיקריים של פונקציות עצמיות בפיזיקה והנדסה היא במשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות אלו מתארות קשרים בין השינויים של הפונקציה בפרמטרים שונים, לדוגמה, התפלגות חום על מוט לרוב תקיים את [[משוואת החום]]: <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} - D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=0</math> כש-<math>D</math> מקדם הדיפוזיה, וסטיית הטמפרטורה משיווי משקל בכל נקודה נתונה על ידי <math>\psi(x,t)</math>. אחת השיטות הנפוצות לפתירת משוואות מסוג זה נקראת [[הפרדת משתנים]], בה לרוב מנסים להגיע להפרדה של כל הגורמים התלוי במשתנה אחד באגף אחד של המשוואה משאר האגפים (במשוואת החום העברת אגף פשוטה מספיקה: <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} = D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}</math>). אחרי שעושים זאת, באגף המופרד קיים אופרטור לינארי שעל ידי מציאת הפונקציות העצמיות שלו ניתן לקבל הורדה של אחת הנגזרות מהמשוואה. הפונקציות העצמיות של <math>D\frac{\partial^2}{\partial x^2}</math> הן <math>\cos kx , \sin kx </math> עבור k כלשהו (משום שגזירה פעמיים של הפונקציות האלו נותנות אותן פונקציות עד כדי כפל ב- <math>-Dk^2</math>). כלומר, עבור התפלגות חום שהיא כפל של הפונקציה העצמית המרחבית בפונקציה זמנית כלשהי: <math>\psi(x,t)=\cos kx \cdot T(t)</math>, נקבל משוואה פשוטה על החלק הזמני: <math> \frac{dT}{dt}=-Dk^2 T</math>, לה קיים פתרון: <math>T(t)=A e^{-Dk^2 t}</math>. כלומר, מציאת הפונקציות העצמיות של האופרטור נתנו לנו תיאור פשוט של ההתנהגות שלהן בזמן. השיטה נפוצה במשוואות דיפרנציות חלקיות רבות כמו [[משוואת הגלים]], [[משוואת לפלס]], [[משוואת שרדינגר]] ועוד.
=== מיתרים רוטטים ===▼
▲=== מיתרים רוטטים - משוואת הגלים ===
[[קובץ:Standing_wave.gif|ממוזער|270x270 פיקסלים|צורה של גל עומד במיתר הקבוע בשני קצותיו הוא דוגמה של פונקציה עצמית של אופרטור דיפרנציאלי. הערכים העצמיים הקבילים נקבעים על ידי אורך המיתר, וקובעים את תדירות התנודה.]]
אם <math>h(x, t)</math> מציין את המרחק האנכי של מיתר אלסטי מתוח, כגון מיתרים רוטטים של [[כלי מיתר]], כפונקציה של המיקום x לאורך החוט, ושל הזמן t. החלת חוקי המכניקה לחלקים [[אינפיניטסימל|האינפיניטסימליים]] של המיתר, הפונקציה h עונה על [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|המשוואה הדיפרנציאלית החלקית]]
| |||