לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "גז לא אידיאלי"

נוספו 2,798 בתים ,  לפני 8 חודשים
אין תקציר עריכה
'''גז לא אידיאלי''' הוא מודל ל[[גז]] המביא לידי ביטוי את האינטראקציה בין החלקיקים, זאת בניגוד למודל ה[[גז אידיאלי|גז האידיאלי]] שמזניח כל אינטראקציה כזו. משום כך, מודל זה מתאר באופן מדויק יותר את התכונות המקרוסקופיות של גז בעל צפיפות גבוהה.
 
=== משוואת המצב של גז לא אידיאלי: תיאור כללי ===
התיאור הבסיסי של גז לא אידיאלי הוא משוואת המצב הויריאלית (virial equation of state), הנתונה באופן כללי על ידי:
 
כאשר <math>\frac{Pv}{RT}</math> הוא מקדם הקומפרסביליות (compressibility factor),<math>v</math> הוא הנפח המולרי, <math>B(T)</math> נקרא המקדם הויריאלי השני (second virial coefficient) ו-<math>C(T)</math> נקרא המקדם הויריאלי השלישי (third virial coefficient). ככל שצפיפות הגז גבוהה יותר, יש צורך במקדמים ויריאליים גבוהים יותר על מנת לתאר את התנהגות הגז במדויק.
 
=== משוואת המצב של גז לא אידיאלי: פיתוח באמצעות מכניקה סטטיסטית ===
בגז לא אידיאלי, האנרגיה של מצב מיקרוסקופי s נתונה על ידי:
 
<math>E_s=E_(s,id)+\phiPhi(r_1,r_2,...,r_N)</math><br />כאשר <math>E_s,id</math> היא האנרגיה שהיתה למצב מיקרוסקופי לו הגז היה אידיאלי, ו-<math>\phiPhi</math> היא [[אנרגיה פוטנציאלית|האנרגיה הפוטנציאלית]] (האנרגיה כתוצאה מאינטראקציה בין החלקיקים).
 
פונקציית החלוקה הקנונית נתונה על ידי:
<math>Q\ \left(T,V,N\right)=\sum_{s}exp\ {\left(-\frac{E_{s,id}}{kT}\right)}\frac{1}{V^N}\int_{V}\exp{\left(-\frac{\Phi}{kT}\right)d^{3N}r}</math>
 
הביטוי <math>\sum_{s}exp\ {\left(-\frac{E_{s,id}}{kT}\right)}</math> הוא פונקציית החלוקה הקנונית עבור גז אידיאלי <math>Q_{id}</math> , והביטוי <math>\int_{V}\exp{\left(-\frac{\Phi}{kT}\right)d^{3N}r}</math> מכונה "'''אינטגרל קונפיגורציה'''", ויסומן ב- <math>Q_N</math> , כך שמתקיים:  <math>Q\ \left(T,V,N\right)=Q_{id}\frac{Q_N}{V^N}</math>. ניתן לראות שאינטגרל הקונפיגורציה ה- <math>N</math> מביא לידי ביטוי אינטראקציה בין <math>N</math> חלקיקים בגז.<br />המשך הפיתוח יבוצע באנסמבל הגרנד קנוני. פונקציית החלוקה הגרנד קנונית מוגדרת כ:
 
<math>\Xi=\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{s}{\lambda^N\ e^{-\beta E_{Ns}}}\ =\sum_{N=0}^{\infty}{\lambda^N\ Q(T,V,N)}</math>
 
המקדם <math>b_l
</math> מכונה "'''אינטגרל מקבץ'''" (cluster integral).
 
על מנת לבטא את המקדמים הויריאליים, יש לבטא את הקומפרסביליות כטור חזקות של <math>\frac{1}{v}
</math>, כלומר יש למצוא קשר בין <math>z</math> ל- <math>v</math>. על מנת לעשות זאת, ניתן להשתמש בקשרים ידועים עבור האנסמבל הגרנד קנוני:<math>n(z)=\frac{N}{V}=\frac{\lambda}{V}\left(\frac{\partial\ln{\Xi}}{\partial\lambda}\right)_{T,V}=\frac{z}{V}\left(\frac{\partial\ln{\Xi}}{\partial z}\right)_{T,V}=\frac{z}{kT}\left(\frac{\partial P}{\partial z}\right)_{T,V}=\sum_{l=1}^{\infty}{{lb}_lz^l}</math>כאשר במעבר האחרון השתמשנו בביטוי של <math>\frac{P}{kT}</math> כטור חזקות של <math>z</math>.
 
כדי למצוא את הקשר ההפוך - <math>z</math> כפונקציה של <math>n</math> - ניתן לכתוב את <math>z</math> כטור חזקות של <math>n</math> : <math>z=\sum_{l=1}^{\infty}{a_ln^l}</math> , ולמצוא את מקדמי הטור על ידי הצבה של <math>z(n)</math> הנ"ל בביטוי ל- <math>n(z)</math>. כך, ניתן לקבל:
 
<math>z=n-2b_2+\left(8b_2^2-3b_3\right)n^3+\ldots</math>
 
מהצבה של קשר זה בהצגה של <math>\frac{P}{kT}</math> כטור חזקות של <math>z</math> ניתן לקבל את <math>\frac{P}{kT}</math> כטור חזקות של <math>n</math>:
 
<math>\frac{P}{kT}=n-b_2n^2+\left(4b_2^2-2b_3\right)n^3+\ldots</math>
 
ומכאן ניתן לקבל, תוך שימוש בקשר <math>n=\frac{N_A}{v}</math> :
 
<math>\frac{Pv}{RT}=1-\frac{b_2N_A}{v}+\frac{\left(4b_2^2-2b_3\right)N_A^2}{v^2}+\ldots</math>
 
כלומר, ניתן לבטא את המקדמים הויריאליים השני והשלישי באמצעות אינטגרלי מקבץ:
 
<math>B\left(T\right)=-b_2N_A\ ;C\left(T\right)=\left(4b_2^2-2b_3\right)N_A^2</math>
 
מביטויים אלו ניתן, באמצעות הצבת הקשרים שנמצאו לעיל בין אינטגרלי מקבץ לאינטגרלי קונפיגורציה, לבטא את המקדמים הויריאליים באמצעות אינטגרלי קונפיגורציה. מאחר שאינטגרל המקבץ ה- <math>i</math> תלוי רק באינטגרלי קונפיגורציה <math>Q_j</math> כאשר <math>j\le i</math>, ניתן לראות שהמקדם הויריאלי הראשון לא מביא לידי ביטוי אינטראקציות בין חלקיקים, המקדם הויריאלי השני מביא לידי ביטוי אינטראקציות בין זוגות חלקיקים בלבד, המקדם הויריאלי השלישי מביא לידי ביטוי אינטראקציות בין שלשות וזוגות של חלקיקים וכך הלאה.
 
=== '''הערכת המקדמים הויריאליים''' ===
על מנת להעריך את המקדמים הויריאליים, יש להעריך את אינטגרלי הקונפיגורציה <math>Q_N</math>.
 
בהנחה שהפוטנציאל <math>\Phi</math> הוא [[פוטנציאל מרכזי]], ניתן לבטא אותו כסכום של האנרגיות הנובעות מאינטראקציה בין כל זוג חלקיקים:
 
<math>\Phi\ \left(r_1,\ r_2,\ldots,\ r_N\right)=\sum_{i=0}^{N}\sum_{j=i}^{N}u_{ij}</math>
 
מהצבת קשר זה באינטגרל הקונפיגורציה מתקבל:
 
<math>Q_N=\int_{V}\exp{\left(-\frac{\Phi}{kT}\right)d^{3N}r}=\int_{V}\exp{\left(-\frac{1}{kT}\sum_{i=0}^{N}\sum_{j=i}^{N}u_{ij}\right)d^{3N}r}=\int_{V}\prod_{i,j=0\ ;i<j}^{N}\exp{\left(-\frac{u_{ij}}{kT}\right)}d^{3N}r</math>לשם כך תוגדר '''פונקציית המקבץ של מאייר''' (Mayer cluster function):
 
<math>f_{ij}=\exp{\left(-\frac{u_{ij}}{kT}\right)}-1</math>
33

עריכות