לדלג לתוכן

העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

הוסרו 2 בתים ,  לפני שנתיים
מ
טרנספורמצייה->טרנספורמציה - תיקון תקלדה בקליק
(←‏דוגמאות: השדה יכול להיות כללי, ולאו דווקא R)
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
מ (טרנספורמצייה->טרנספורמציה - תיקון תקלדה בקליק)
* טרנספורמציית האפס <math>\boldsymbol{0}:V \to W</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את [[איבר האפס|וקטור האפס]] בטווח) ו[[פונקציית הזהות|טרנספורמציית הזהות]] <math>\operatorname{Id}: V \to V</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם <math>V=\mathbb{R}^n, W=\mathbb{R}^m</math> אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> כאשר <math>A</math> היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות <math>\operatorname{Id}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> על ידי <math>A=I_n</math> כאשר <math>I_n</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר <math>n</math> (כלומר: בגודל <math>n \times n</math>).
* ההעתקה <math>T_A : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> עם <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math> היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה-<math>x</math> בעוד את ציר ה-<math>y</math> היא משאירה ללא שינוי. נבטא אותה במפורש: <math display="block">\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 x \\ y \end{bmatrix}</math> ולכן <math>T_A(x,y) = (2x,y)</math>. קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית. ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.
* [[מטריצת סיבוב|טרנספורמציות סיבוב]] ו[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] הן טרנספורמציות ליניאריות. לדוגמה, ב-<math> \mathbb R ^2</math>, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה-<math>x</math> היא טרנספורמצייהטרנספורמציה ליניארית.
* [[נגזרת|גזירה]] היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] אינסופי).
* פונקציה <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> היא העתקה ליניארית [[אם ורק אם]] היא מהצורה <math>f(x)=\alpha x</math> באשר <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>. נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת [[קו ישר]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור האוקלידי]]) <math>g(x) = \alpha x + \beta</math> היא העתקה ליניארית אם ורק אם <math>\beta = 0</math>. קל לראות ש-<math>g</math> לא מעבירה 0 ל-0 (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש-<math>\beta \ne 0</math> ונראה ש-<math>g</math> לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות): <math display="block">2\alpha+\beta=g(2) = g(1+1) \ne g(1)+g(1) = (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta) = 2\alpha + 2\beta</math> פונקציה <math>g</math> כזאת נקראת [[העתקה אפינית]].