מספר אלגברי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־21:40, 16 ביולי 2020

מספר אלגברי הוא מספר מרוכב המהווה שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים (או שלמים, אין הבדל). בפרט, כל מספר רציונלי $q$ הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה $\ x-q=0$ . מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא מספר טרנסצנדנטי.

אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה שדה, הנקרא שדה המספרים האלגבריים. שדה זה סגור אלגברית: השורשים של פולינום בעל מקדמים אלגבריים הם בעצמם אלגבריים.

אוסף המספרים האלגבריים הוא בן מנייה, בעוד שהמשלים לו אינו בן מנייה. תכונה זו הוכחה על ידי גאורג קנטור. במובן זה ישנם הרבה יותר מספרים שאינם אלגבריים מאשר מספרים אלגבריים, למרות שבאופן מעשי קשה ביותר להוכיח שמספר נתון (כגון e או פאי) אינו אלגברי (להוכחות ראו טרנסצנדנטיות של e ומשפט לינדמן).

דוגמאות.

${\sqrt {2}}$ הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום $\ x^{2}-2$ .
$i={\sqrt {-1}}$ הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום $\ x^{2}+1$ .
המספרים $e$ , $\pi$ ו- $\ e^{\pi }$ אינם אלגבריים.

ההגדרה המובאת כאן מסתפקת בכך שמספר אלגברי יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים רציונליים. הגדרה מקובלת אחרת דורשת שהמספר יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים שלמים. שתי ההגדרות שקולות זו לזו, משום שפולינום במקדמים רציונליים אפשר להפוך לפולינום במקדמים שלמים על ידי כפל בגורם משותף. את ההגדרה הראשונה אפשר להכליל למושג איבר אלגברי בהרחבה כללית של שדות; אחרי הכל, מספר אלגברי אינו אלא איבר אלגברי של שדה המספרים המרוכבים מעל שדה המספרים הרציונליים. באופן צורף, ההגדרה השנייה הולמת אם חושבים על שדה המספרים המרוכבים כאלגברה מעל חוג המספרים השלמים: האיברים האלגבריים בהרחבה זו הם בדיוק המספרים האלגבריים.

שלמים אלגבריים

ערך מורחב – חוג השלמים האלגבריים

מספר (מרוכב) המהווה שורש של פולינום מתוקן (כלשהו) בעל מקדמים שלמים, נקרא שלם אלגברי. אוסף השלמים האלגבריים בשדה מהווה חוג. מקורו של השם שלמים אלגברים הוא בכך שמספר רציונלי הוא שלם אלגברי אם ורק אם הוא שלם (במובן הרגיל). תורת המספרים האלגברית, העוסקת בתכונות של שלמים אלגבריים והמבנים הקשורים אליהם, היא הכללה של תורת המספרים הקלאסית.

איבר הוא שלם אלגברי אם ורק אם הפולינום המינימלי שלו (מעל הרציונליים) הוא בעל מקדמים שלמים.

הכללה

על איברים אלגבריים בהרחבה של שדות, או באופן כללי יותר באלגברה, ראו בערך איבר אלגברי.

ראו גם

אי תלות אלגברית

קישורים חיצוניים

מספר אלגברי, באתר MathWorld (באנגלית)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''מספר אלגברי''' הוא [[מספר מרוכב]] המהווה [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של [[פולינום]] בעל מקדמים [[מספר רציונלי|רציונליים]] (או [[מספר שלם|שלמים]], אין הבדל). בפרט, כל מספר רציונלי q הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה <math>\ x-q=0</math>. מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא [[מספר טרנסצנדנטי]].
+'''מספר אלגברי''' הוא [[מספר מרוכב]] המהווה [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של [[פולינום]] בעל מקדמים [[מספר רציונלי|רציונליים]] (או [[מספר שלם|שלמים]], אין הבדל). בפרט, כל מספר רציונלי <math>q</math> הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה <math>\ x-q=0</math>. מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא [[מספר טרנסצנדנטי]].
 אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], הנקרא [[שדה המספרים האלגבריים]]. שדה זה [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]]: השורשים של פולינום בעל מקדמים אלגבריים הם בעצמם אלגבריים.
@@ שורה 8: / שורה 8: @@
 * <math>\sqrt{2}</math> הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום <math>\ x^2 - 2</math>.
 * <math>i=\sqrt{-1}</math> הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום <math>\ x^2 + 1</math>.
-* המספרים [[e (קבוע מתמטי)|e]],  [[פאי]] ו- <math>\ e^{\pi}</math> אינם אלגבריים.
+* המספרים <math>e</math>, <math>\pi</math> ו- <math>\ e^{\pi}</math> אינם אלגבריים.
 ההגדרה המובאת כאן מסתפקת בכך שמספר אלגברי יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים רציונליים. הגדרה מקובלת אחרת דורשת שהמספר יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים שלמים. שתי ההגדרות שקולות זו לזו, משום שפולינום במקדמים רציונליים אפשר להפוך לפולינום במקדמים שלמים על ידי כפל ב[[גורם משותף]]. את ההגדרה הראשונה אפשר להכליל למושג [[איבר אלגברי]] ב[[הרחבת שדות|הרחבה כללית של שדות]]; אחרי הכל, מספר אלגברי אינו אלא איבר אלגברי של [[שדה המספרים המרוכבים]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים]]. באופן צורף, ההגדרה השנייה הולמת אם חושבים על שדה המספרים המרוכבים כ[[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל [[חוג המספרים השלמים]]: האיברים האלגבריים בהרחבה זו הם בדיוק המספרים האלגבריים.

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים $\mathbb {N}$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס $\ \mathbb {Z} [i]$ • חוג השלמים האלגבריים $\ {\overline {\mathbb {Z} }}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין $\ \mathbb {Z} [\omega ]$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים $\ {\overline {\mathbb {Q} }}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים $\mathbb {Q} _{p}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון $\ {\mathbb {H} }$ ) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי $\ {\mathbb {O} }$ ) • אלגברות קיילי-דיקסון

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: מספר אלגברי
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: מספר אלגברי