לדלג לתוכן

חבורת בראואר – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
מ (אנונימי מדי העביר את הדף חבורת בראוור לשם חבורת בראואר: ראו שיחה:ריכרד בראואר)
אין תקציר עריכה
 
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חבורת בראוורבראואר''' (Brauer group) של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] נתון היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] אוסף מחלקות ה[[אלגברה פשוטה מרכזית|אלגברות הפשוטות המרכזיות]] הסוף [[ממד (אלגברה)|ממדיות]] עם פעולת ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]], בה [[איבר הופכי|איבר ההופכי]] הוא (המחלקה של) ה[[חוג הפוך|אלגברה המנוגדת]]. היא נקראת על שם המתמטיקאי [[ריכארדריכרד בראוורבראואר]]. מטרתה היא לאפיין ולמיין את ה[[אלגברה פשוטה מרכזית|אלגברות הפשוטות המרכזיות]] מעל השדה.
 
==מבוא והגדרה פורמלית==
לפי [[משפט ודרברן-ארטין]], כל אלגברה פשוטה מרכזית סוף-ממדית [[איזומורפיזם|איזומורפית]] ל[[חוג מטריצות|אלגברת מטריצות]] מעל חוג עם חילוק; חוג זה וגם סדר אלגברת המטריצות יחידים עד כדי איזומורפיזם. אלגברת החילוק הזו נקראת '''האלגברה הבסיסית''' (היא ב''בסיס'' האלגברה המקורית).
 
נאמר ששתי אלגברות פשוטות מרכזיות <math>{R}_{1},{R}_{2}</math> הן '''שקולות בראוורבראואר''' אם לשתיהן אותה אלגברה בסיסית. נסמן זאת <math>{R}_{1} {\sim }_{Br} {R}_{2}</math>. בשקילות, <math>{R}_{1} {\sim }_{Br} {R}_{2}</math> כאשר קיימים <math>n_1,n_2</math> כך ש-<math>M_{n_1}({R}_{1}) \cong M_{n_2}({R}_{2}</math>. קל לבדוק שזהו אכן [[יחס שקילות]], ואת המחלקה של אלגברה פשוטה מרכזית <math>R</math> נסמן על ידי <math>[R]</math>. למשל, מתקיים <math>[\mathbb{F}]=\{{M}_{n}(\mathbb{F}) : n \ge 1 \}</math>.
 
'''חבורת בראוורבראואר''' היא ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] הבאה:
: * האיברים הם אוסף מחלקות השקילות כנ"ל.
: * הפעולה היא <math>[{R}_{1}] \cdot [{R}_{2}]=[{R}_{1} \otimes {R}_{1}]</math>, כאשר <math>\otimes </math> היא ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]].
: * האיבר ההופכי של <math>[R]</math> הוא <math>[{R}^{op}]</math>, ה[[חוג מנוגד|אלגברה המנוגדת]].
 
אוסף זה כפי שהוגדר מהווה חבורה קומוטטיבית, הנקראת '''חבורת בראוורבראואר''' של השדה <math>\mathbb{F}</math>, אותה מסמנים <math>Br(\mathbb{F})</math>.
 
==דוגמאות==
* אם <math>\mathbb{F}</math> [[שדה סגור אלגברית]], אז <math>Br(\mathbb{F})=\{[\mathbb{F}]\}</math> (חבורה עם איבר אחד). טענה זו נובעת מכך שמעל שדה סגור אלגברית, כל אלגברה עם חילוק היא <math>\mathbb{F}</math> בעצמו, ולכן האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל <math>\mathbb{F}</math> סגור אלגברית הן רק <math>{M}_{n}(\mathbb{F})</math>.
 
* לפי משפט Tsen, אם <math>\mathbb{F}</math> [[שדה סגור אלגברית]] אז <math>Br(\mathbb{F}(t))</math>, חבורת בראוורבראואר של שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד מעליו, טריוויאלית אף היא.
 
* במקרה <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> [[שדה הממשיים]], מתקיים <math>Br(\mathbb{F})=\{ [\mathbb{R}],[\mathbb{H}] \}</math>, כאשר <math>\mathbb{H}</math> היא [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]]. זה נכון לפי משפט של [[פרדיננד גאורג פרובניוס|פרובניוס]], הקובע כי אלגברת החילוק היחידה מעל הממשיים היא אלגברת הקווטרניונים .
תהי <math>\mathbb{L}/ \mathbb{F}</math> [[הרחבת שדות]].
 
ההעתקה <math>Br(\mathbb{F}) \rightarrow Br(\mathbb{L})</math> הנתונה על ידי <math>[R] \mapsto [R{ \otimes }_{\mathbb{F} }\mathbb{L}]</math> [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]], ומהווה [[הומומורפיזם]] חבורות. העתקה זו מכונה ה'''צמצום''' (Restriction) ומסומנת <math>{res}_{\mathbb{L}/ \mathbb{F}}</math>. ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלה נקרא '''חבורת בראוורבראואר היחסית''' (relative Brauer group), המסומנת <math>Br(\mathbb{L}/ \mathbb{F})</math>. אם <math>[R] \in Br(\mathbb{L}/ \mathbb{F})</math> אז <math>R \otimes \mathbb{L} {\sim}_{Br} \mathbb{L}</math>, ובמקרה זה <math>\mathbb{L}</math> נקרא '''שדה מפצל''' של האלגברה <math>R</math>.
 
ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] <math>\overline { \mathbb{F} }</math> של <math>\mathbb{F}</math> תמיד שדה מפצל של כל <math>\mathbb{F}</math>-אלגברה <math>R</math>, ולכן קיים מספר טבעי <math>n</math> כך ש-<math>R{\otimes}_{\mathbb{F}} (\overline{\mathbb{F}}) {\sim}_{Br} {M}_{n}(\overline{\mathbb{F}}) </math>, ולכן ממדו הוא <math>{n}^{2}</math>. המספר <math>n</math> נקרא ה'''דרגה''' של <math>R</math>, ומסמנים <math>n=deg(R)</math>. ה'''אינדקס''' של <math>R={M}_{t}(D)</math> הוא הדרגה של <math>D</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>, מסומן <math>ind(R)</math>, ומתקיים <math>deg(R)= t \cdot ind(R)</math>.
'''משפט''':שדה <math>\mathbb{L}</math> מפצל את <math>R</math> אם ורק אם <math>\mathbb{L}</math> תת-שדה מקסימלי של איזושהי אלגברה <math>R'</math> השקולה ל-<math>R</math> בחבורה.
 
ה'''אקספוננט''' של אלגברה <math>R</math> הוא ה[[סדר (תורת החבורות)|סדר]] של <math>[R] \in Br(\mathbb{F})</math>, ומסומן <math>exp(R)</math>. תמיד מתקיים <math>exp(R)|deg(R),exp(R)|ind(R)</math>, וכל ראשוני המחלק את <math>ind(R)</math> מחלק את <math>exp(R)</math>. בפרט, חבורת בראוורבראואר היא [[חבורה מפותלת]], כלומר חבורה בה לכל איבר סדר סופי.
 
לכל מספר <math>m</math>, מגדירים את החבורה <math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> להיות תת-החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט המחלק את <math>m</math>. אם <math>gcd([\mathbb{L}: \mathbb{F}],m)=1</math> העתקת הצמצמום מ-<math>{Br(\mathbb{F})}_{m}</math> ל-<math>{Br(\mathbb{L})}_{m}</math> היא שיכון.
 
==חבורת בראוורבראואר וקוהומולוגיה==
===חבורת הקוהומולוגיה הראשונה===
דרך הגדרה שקולה לחבורת בראוורבראואר היא בעזרת חבורת ה[[קוהומולוגיה]] הראשונה של [[החבורה הליניארית הכללית]] ה'''פרויקטיבית''' -
<math>{PGL}_{n}(\mathbb{K})={GL}_{n}(\mathbb{K})/Z({GL}_{n}(\mathbb{K}))</math>.
 
נסמן ב<math>CSA_{\mathbb{K}}(n)</math> את ה<math>\mathbb{F}</math>-[[אלגברה פשוטה מרכזית|אלגברות הפשוטות המרכזיות]] מדרגה <math>n</math> המתפצלות על ידי <math>\mathbb{K}</math> (עד כדי איזומורפיזם). ישנה פעולה <math>CSA_{\mathbb{K}}(m) \times CSA_{\mathbb{K}}(n) \rightarrow CSA_{\mathbb{K}}(mn) </math> הנתונה על ידי ה[[מכפלה טנזורית]], היות ששדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]] שלהן.
 
יחס השקילות '''''שקולים בראוורבראואר''''' שהוצג לעיל הוא יחס על <math>\bigcup _{ n \in \mathbb{N} } { {CSA}_{\mathbb{K}}(n)} </math>, ואוסף מחלקות השקילות הוא בדיוק חבורת בראוורבראואר היחסית <math>Br(\mathbb{K} / \mathbb{F})</math>, וחבורת בראוורבראואר היא <math>\bigcup_{\mathbb{K}} {Br(\mathbb{K}/\mathbb{F})}</math>, כאשר האיחוד הוא על כל [[הרחבת גלואה|הרחבות הגלואה]] הסופיות.
 
כעת, נצטט את המשפט החשוב הבא: