לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "סדר חלקי"

הוסרו 75 בתים ,  לפני 9 חודשים
סידור
(סידור)
[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3.svg|שמאל|ממוזער|280px|[[דיאגרמת הסה]] של איברי [[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] של <math>\{x, y, z\}</math> כאשר הסדר החלקי המוגדר עליהם הוא [[תת-קבוצה|הכלה]]. איבר המינימום הוא {<math> \mathcal{\emptyset}</math>} ואיבר המקסימום <math>\{x,y,z\}</math>]]
ב[[תורת הקבוצות]], '''סדר חלקי''' על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>X</math> הוא [[יחס בינארי]] המקיים אחת משתי קבוצות של אקסיומות:
* היחס [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]] ו[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]] - זהו '''יחס סדר חלש'''.
הקבוצה <math>X</math>, יחד עם יחס הסדר, נקראת [[קבוצה סדורה]].
 
באופן כללי יכולים להיות שני איברים של <math>X</math> שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם '''יחס סדר חלקי'''. אם עבור כל <math>a,b \in X</math> מתקיים <math>a \le b</math> או <math>\!\,b b\le a</math> אז קוראים ליחס <math>\!\, \le</math> '''סדר ליניארי''' (או '''[[סדר מלא]]'''), ולזוג <math>\!\, \left(X, \le\right)</math> '''קבוצה סדורה ליניארית''', או '''[[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]]'''.
 
דוגמאות:
* קבוצת כל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] <math>\!\, \left(\mathbb{N},\le\right)</math> עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה ליניארית. כך גם ה[[ממשיים]].
*יחס החלוקה של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] <math>|\mid</math> מוגדר כך ש-<math>m| \mid n</math> אם ורק אם <math>m</math> [[מחלק]] את <math>n</math>. הקבוצה <math>\left(\mathbb{N},|\mid\right)</math> היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני.
*יחס החלוקה אינו יחס סדר על ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] כי אינו אנטי-סימטרי: <math>1| \mid -1</math> וגם <math>-1| \mid 1</math> אף על פי ש-<math>-1\ne 1</math>.
 
== איברים מיוחדים ==
[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3 no greatest or least.svg|שמאל|ממוזער|280px|דיאגרמת הסה של התרשים העליון ללא איברי המינימום והמקסימום. בקבוצה מצומצמת זו, כל האיברים בשורה העליונה הם מקסימלים וכל האיברים בשורה התחתונה הם מינימליים.]]
איבר <math>\!\,a \isinin X</math> נקרא '''איבר מינימלי''' (איבר מזערי) אם לא קיים <math>\!\,b \isinin X</math> השונה ממנו כך ש -<math>\!\,b\le a</math>..
 
איבר <math>\!\,a \isinin X</math> נקרא '''איבר מקסימלי''' (איבר מרבי) אם לא קיים <math>\!\,b \isinin X</math> השונה ממנו כך ש <math>\!\,a \le b</math>.
 
איבר <math>\!\,a \isinin X</math> נקרא '''מינימום''' (או לחלופין איבר קטן ביותר או איבר ראשון) אם לכל <math>\!\,b \isinin X</math> מתקיים <math>\!\,a \le b</math>.
 
איבר <math>\!\,a \isinin X</math> נקרא '''מקסימום''' (או לחלופין איבר גדול ביותר או איבר אחרון) אם לכל <math>\!\,b \isinin X</math> מתקיים <math>\!\,b \leleq a</math>.
 
ההבדל בין איבר מקסימלי למקסימום הוא שבקבוצה סדורה חלקית לא תמיד ניתן להשוות איבר לשאר האיברים, ואילו מקסימום חייב להיות בר השוואה לכל שאר האיברים.
 
קבוצה סדורה ליניארית <math>\!\,\left(X,\le\right)</math> שבה יש איבר ראשון לכל תת-קבוצה של <math>\!\,X </math>, נקראת '''[[סדר טוב|קבוצה סדורה היטב]]'''.
 
כאשר מתקיים <math>
<math>
x>y
</math>, ואין <math>
, ואין
<math>
z
</math> כך ש-<math>
כך ש–
<math>
x>z>y
</math>, אז אומרים ש-<math>x</math> '''מכסה''' את <math>y</math>(ומכאן שב[[סדר צפוף]] אין שני איברים שמכסים זה את זה).
</math>
, אז אומרים ש–
<math>x</math>
'''מכסה''' את
<math>y</math>
(ומכאן שב[[סדר צפוף]] אין שני איברים שמכסים זה את זה).
 
==ראו גם==
4,144

עריכות