לדלג לתוכן

תפריט ניווט

הבדלים בין גרסאות בדף "מכפלה סקלרית"

נוספו 43 בתים ,  לפני חודשיים
סידור
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד עריכה חזותית
(סידור)
{{פירוש נוסף|נוכחי=פעולה מתמטית על שני וקטורים|ראו=[[סקלר]] }}
'''מכפלה סקלרית''' היא [[פונקציה|פעולה]] על שני [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] מה[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] <math>\ \mathbb{R}^n</math> שמחזירה [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] (ומכאן שמה). המכפלה הסקלרית מהווה [[מרחב מכפלה פנימית|מכפלה פנימית]] במרחב האוקלידי.
 
==הגדרה פורמלית==
המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים <math>\ \vec \alpha , \vec \beta</math>, מסומנת על ידי <math>\vec \alpha \cdot \vec \beta</math> (יש ספרים המשתמשים בנקודת כפל עבה יותר, ולכן ב[[אנגלית]] מכפלה זו נקראת '''Dot product''').
 
כשם שניתן לתאר וקטור במרחב באמצעות סדרת קואורדינטות או באמצעות אורכו וכיוונו, כך גם קיימות שתי הגדרות ([[שקילות (לוגיקה)|שקולות]]) למכפלה הסקלרית המשתמשות במאפיינים אלה.
=== ההגדרה הגאומטרית ===
[[קובץ:Scalarproduct.gif|שמאל|ממוזער|150px]]
יהיו שני וקטורים <math>\ \vec \alpha,\vec \beta</math>. מכפלתם הסקלרית שווה למכפלת אורכיהם (להכללת מונח ה[[אורך]], עיינו בערך [[נורמה (אנליזה)|נורמה]]) ו[[קוסינוס]] ה[[זווית]] שביניהם. בסימנים -:
: <math>\ \vec \alpha\cdot\vec \beta=\|\mathbf{\alpha}\|\|\mathbf{\beta}\|\cos (\alpha , \beta )</math>.
 
בניגוד לזווית בין ישרים, שאינה יכולה לעלות על 90 [[מעלה (זווית)|מעלות]], הזווית בין וקטורים יכולה גם להיות קהה ואז המכפלה הסקלרית תהיה שלילית.
=== ההגדרה האלגברית ===
במרחב וקטורי העמודה/שורה יהיו שני וקטורים מהצורה -
:<math>\ \vec \alpha=(a_1, ..., a_n)</math>
:<math>\ \vec \beta=(b_1, ..., b_n)</math>
מכפלתם הסקלרית תוגדר על ידי -
:<math>\ \lang \alpha ,\beta \rang = a_{1}b_{1} + ...\dots + a_{n}b_{n}</math>
 
הגדרה זו כללית יותר מההגדרה הגאומטרית, כיוון שניתן להכלילה לממדים גדולים מ-3, שם מושג ה'''זווית''' בין הווקטורים טעון הגדרה. למעשה ניתן להגדיר זווית בעזרת המכפלה הפנימית. כיוון ש[[אי שוויון קושי-שוורץ]] מבטיח כי בכל ממד מתקיים
<math>\ \left| \vec \alpha \cdot \vec \beta \right| \le \left| \vec \alpha \right|\cdot \left| \vec \beta \right|</math>, ניתן להגדיר
 
<math>\cos (\theta) \,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, \frac{\vec \alpha \cdot \vec \beta}{| \vec \alpha |\cdot |\vec \beta|}</math>.
 
תמיד ישנה זווית המקיימת משוואה זו, כיוון שהמנה תמיד קטנה או שווה ב[[ערך מוחלט|ערכה המוחלט]] ל - <math>1</math>.
 
במקרה הפרטי של [[קואורדינטות קרטזיות]] במרחב תלת ממדי, המכפלה הסקלרית נתונה על ידי
: <math>\ \left( \alpha_x \hat{x} + \alpha_y \hat{y} + \alpha_z \hat{z} \right) \cdot \left( \beta_x \hat{x} + \beta_y \hat{y} + \beta_z \hat{z} \right) = \alpha_x \beta_x + \alpha_y \beta_y + \alpha_z \beta_z </math>
נוסחה זו נכונה עבור כל [[בסיס אורתונורמלי]].
 
== תכונות ומאפיינים ==
 
המכפלה הסקלרית היא [[תבנית ביליניארית|ביליניארית]] (כלומר, <math>\vec A \cdot (\vec B +\vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C </math> ולכל סקלר <math>t</math>, <math>(t\vec A) \cdot \vec B = t(\vec A \cdot \vec B) </math>) [[פונקציה סימטרית|סימטרית]] (כלומר <math>\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A </math>).
 
מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא <math>0</math> [[אם ורק אם]] הם ניצבים זה לזה, כיוון ש-<math>\ \cos (90^\circ)=0</math>. ההכללה של תכונה זו ב[[מרחב מכפלה פנימית|מרחבי מכפלה פנימית]] כלליים היא ה[[אורתוגונליות]] (ב[[יוונית]], אורתוגונלי =משמעו ניצב). כאשר המכפלה הפנימית בין שני וקטורים מתאפסת, הם נקראים וקטורים '''אורתוגונליים''', או '''ניצבים'''.
 
== משמעות ==
 
מכפלה סקלרית של וקטור מסוים בווקטור יחידה נותנת את ה[[הטלה (מתמטיקה)|הטלה]] של הווקטור המסוים על אותו כיוון: ההיטל של וקטור <math>\vec{B}</math> על <math>\hat{A}</math> נתון על ידי <math>\ \mbox{Projection} = ( \hat{A} \cdot \vec{B} ) \hat{A}</math> כאשר ה"כובע" מסמן [[וקטור יחידה]].
 
==שימושים==
ב[[פיזיקה]], [[עבודה (פיזיקה)|עבודה]] של [[כוח (פיזיקה)|כוח]] קבוע שווה למכפלה הסקלרית של הכוח ב[[העתק (פיזיקה)|העתק]].
 
ב[[תוכנה]], ניתן לבדוק כמה קרובים 2שני וקטורים נורמלים (באורך <math>1</math>) להצביע לאותו הכיוון לפי המכפלה הסקלרית שלהם.
 
== ראו גם ==
* [[מרחב וקטורי]]
* [[מכפלה פנימית]] (הכללה של מכפלה סקלרית)
* [[מכפלה וקטורית]] (מכפלה מסוג שונה ב-<math>\ \mathbb{R}^3</math>)
* [[ מכפלה מעורבת]] (מכפלה סקלרית של וקטור במכפלה וקטורית של שני וקטורים אחרים).
* [[דיברגנץ]]