פונקציה חד-חד-ערכית ועל – הבדלי גרסאות
שורה 5: | שורה 5: | ||
==דוגמאות== |
==דוגמאות== |
||
הפונקציה <math>y=x^2</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[0, \infty |
הפונקציה <math>y=x^2</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math>, משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>[0, \infty)</math> מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום <math>f:(-\infty, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math> משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>(0, \infty)</math> מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא <math>f(2)</math> וגם <math>f(-2)</math>). |
||
הפונקציה <math>y=x^3</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[-1, 1] \rightarrow [-1, 1]</math>, משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>[-1,1]</math> מתקבל בדיוק פעם אחת. |
הפונקציה <math>y=x^3</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[-1, 1] \rightarrow [-1, 1]</math>, משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>[-1,1]</math> מתקבל בדיוק פעם אחת. |
גרסה מ־15:16, 25 בספטמבר 2020
בערך זה |
במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא פונקציה , מהקבוצה לקבוצה , שעבורה לכל קיים יחיד כך ש . בתנאי זה, קיומו של a מקודד את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים שונים שעבורם ) מקודד את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.
דוגמאות
הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא וגם ).
הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת.
תכונות ושימושים
אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות ו- נקראות "שקולות" והן בעלות אותה עוצמה.
פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא יחס סימטרי.
אם על הקבוצות מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
אוסף התמורות על קבוצה הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)