פונקציה חד-חד-ערכית ועל – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־21:54, 28 בספטמבר 2020

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא פונקציה $f:X\rightarrow Y$ , מהקבוצה $X$ לקבוצה $Y$ , שעבורה לכל $b\in Y$ קיים $a\in X$ יחיד כך ש $f(a)=b$ . בתנאי זה, קיומו של a מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים $a,a'$ שונים שעבורם $f(a)=f(a')$ ) מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.

דוגמאות

דוגמאות בדידות

מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כסאות פנויים באולם.

פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.

דוגמאות רציפות

הפונקציה $y=x^{2}$ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום $f:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ , משום שכל ערך של y בקטע הממשי $[0,\infty )$ מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום $f:(-\infty ,\infty )\rightarrow [0,\infty )$ משום שכל ערך של y בקטע הממשי $(0,\infty )$ מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא $f(2)$ וגם $f(-2)$ ).

הפונקציה $y=x^{3}$ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום $f:[-1,1]\rightarrow [-1,1]$ , משום שכל ערך של y בקטע הממשי $[-1,1]$ מתקבל בדיוק פעם אחת.

דיאגרמות להמחשה

פונקציה חד-חד-ערכית ועל
פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על
פונקציה על שאינה חד-חד-ערכית
פונקציה שאינה חד-חד-ערכית ואינה על

תכונות ושימושים

אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות $X$ ו- $Y$ נקראות "שקולות" והן בעלות אותה עוצמה.
פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא יחס סימטרי.

אם על הקבוצות $X,Y$ מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.

פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
אוסף התמורות על קבוצה $X$ הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בוויקישיתוף

פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.

@@ שורה 6: / שורה 6: @@
 מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כסאות פנויים באולם.
-פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-1 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]].
+פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]].
 [[קובץ:Algebra1 fnz fig042 par.svg|150px|ממוזער|שמאל|גרף פונקציה <math>y=x^2</math> בתחום <math>[-2,2]</math>]]
 ===דוגמאות רציפות===
 הפונקציה <math>y=x^2</math> היא חד-חד-ערכית ועל בתחום <math>f:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math>, משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>[0, \infty)</math> מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום <math>f:(-\infty, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math> משום שכל ערך של y בקטע הממשי <math>(0, \infty)</math> מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא <math>f(2)</math> וגם <math>f(-2)</math>).