דעיכה מעריכית

ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.

דעיכה מעריכית היא תכונה של פונקציה שבה ערך הפונקציה יורד באופן מעריכי כתלות במשתנה הבלתי תלוי, כלומר במרווח קבוע ערך הפונקציה יורד פי ערך קבוע.

בכיתוב מתמטי פונציה דועכת מעריכית נכתבת בצורה הכללית:

$Y(x)=Y(0)a^{-x}$

או עם הלוגריתם הטבעי:

$Y(x)=Y(0)e^{-\lambda x}$

כמו גם בצורות אחרות, אשר נוחות בתחומים מסוימים.

פיתוח ממשוואה דיפרנציאלית

קצב השינוי של ערך דועך מעריכית עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,

${\frac {d}{dt}}A(t)=-\lambda A(t)$

עבור הערך $A(t)$ תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי $\lambda$. פתרון משוואה זו על ידי הפרדת משתנים נותן

$A(t)=A(0)e^{-\lambda t}$.

דעיכת אוכלוסייה

כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמה מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה בהתפלגות פואסונית), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי

$P(t)=\lambda e^{-\lambda t}$

זמן אופייני

זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי

$\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot P(t)dt=\int _{0}^{\infty }t\cdot \lambda e^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}\equiv \tau$,

כאן נעשה שימוש באינטגרציה בחלקים, זמן ממוצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב$\tau$. על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך

$A(t)=A(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}$.

לאחר הזמן האופייני הערך יורד ל$e^{-1}$ מערכו ההתחלתי.

כאשר מדובר בדעיכה אקספוננציאלית בזמן עם זמן אופייני של $\tau$, במישור התדר מתקבל לורנציין עם רוחב של ${\frac {1}{\tau }}$.

זמן מחצית חיים

ערך מורחב – זמן מחצית חיים

לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי

$t_{0.5}={\frac {ln2}{\lambda }}=\tau \ln 2$.

קישורים חיצוניים

• דעיכה מעריכית, באתר MathWorld (באנגלית)
• דעיכה מעריכית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)