סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה $S$ השייכת למרחב $X$ הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את $S$. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי $S$ ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה $S$.

הגדרה פורמלית

יהא $X$ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא $S\subseteq X$ קבוצה. אם $\Lambda$ היא קבוצת הקבוצות הסגורות $A$ המקיימות $S\subseteq A\subseteq X$ (כלומר, קבוצת הקבוצות הסגורות המכילות את $S$), אז הסגור של $S$ יסומן ${\mbox{Cl}}(S)$ או ${\overline {S}}$, ויוגדר על ידי:

${\overline {S}}={\mbox{Cl}}(S)=\bigcap _{A\in \Lambda }A$.

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

• ${\mbox{Cl}}(S)$ היא קבוצת כל האיברים של $X$ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של $S$ (לא בהכרח שונה מהם).
• ${\mbox{Cl}}(S)=S\cup S'$, כאשר $S'$ היא הקבוצה הנגזרת של $S$.
• הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: ${\mbox{Cl}}(A)=\left({\mbox{Int}}(A^{C})\right)^{C}$.

דוגמאות

• הסגור של הקטע הפתוח $(a,b)$ הוא הקטע הסגור $[a,b]$.
• הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים $\mathbb {Q}$ הוא הישר הממשי כולו $\mathbb {R}$.

תכונות הנוגעות לסגור

• כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: $A={\mbox{Cl}}(A)$. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן ${\mbox{Cl}}(A)={\mbox{Cl}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)$.
• $A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Cl}}(A)\subseteq {\mbox{Cl}}(B)$.
• ${\mbox{Cl}}\left(A\cap B\right)\subseteq {\mbox{Cl}}(A)\cap {\mbox{Cl}}(B)$.
• ${\mbox{Cl}}\left(A\cup B\right)={\mbox{Cl}}(A)\cup {\mbox{Cl}}(B)$.
• $f$ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל $A$ בתחום שלה מתקיים $f\left({\mbox{Cl}}(A)\right)\subseteq {\mbox{Cl}}\left(f(A)\right)$.
• אם $A$ קבוצה קשירה, לכל $A\subseteq B\subseteq {\mbox{Cl}}(A)$ מתקיים שגם $B$ קבוצה קשירה. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה גם הוא קשיר.
• קבוצה $A$ במרחב $X$ המקיימת ${\mbox{Cl}}(A)=X$ נקראת קבוצה צפופה.
• קבוצה $A$ במרחב $X$ המקיימת ${\mbox{Int}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)=\emptyset$ נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.

קישורים חיצוניים

• סגור, באתר MathWorld (באנגלית)