רציפות (פילוסופיה) – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 12: שורה 12:
הפילוסוף [[זנון]], הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו היתה להוכיח את הטענה של רבו, [[פרמנידס]], כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות פרדוקסים כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולאמר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).<br />
הפילוסוף [[זנון]], הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו היתה להוכיח את הטענה של רבו, [[פרמנידס]], כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות פרדוקסים כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולאמר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).<br />
טענתו של זנון כנגד הרציפות היתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאד קטנים. השניה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום.<br />
טענתו של זנון כנגד הרציפות היתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאד קטנים. השניה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום.<br />
למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח [[ארכימדס]] חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטחו של מעגל. ארכימדס הניח כי המעגל מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו של המעגל על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. נוסחה זו עובדת היטב, אם כי כיום אנו יודעים שיש להכניס בתוכה [[מספר אי רציונלי]] בשם [[פאי]], שלא היה ידוע לארכימדס.
למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח [[ארכימדס]] חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטחו של עיגול. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. נוסחה זו עובדת היטב, אם כי כיום אנו יודעים שיש להכניס בתוכה [[מספר אי רציונלי]] בשם [[פאי]], שלא היה ידוע לארכימדס.


===התמודדות עם מושג הרציפות במתמטיקה של העת החדשה===
===התמודדות עם מושג הרציפות במתמטיקה של העת החדשה===

גרסה מ־00:41, 14 באפריל 2007

מושג ה"רציפות" בפילוסופיה או בדיבור יומיומי, הינו שונה מן המושג "רציפות" במתמטיקה. לרציפות במתמטיקה - עיין ערך רציפות. ערך זה דן בהתמודדות של המתמטיקה, הפיזיקה והפילוסופיה עם מושג הרציפות האינטואיטיבי.

מושג הרציפות האינטואיטיבי לעומת רציפות במתמטיקה

רציפות כמושג אינטואיטיבי

המושג "רציפות" מתאר באופן אינטואיטיבי דבר מה שאין בו הפסקות וניתן לחלוקה אין סופית. מושג זה יכול לחול על המציאות הפיזיקלית (הנתפסת בחושים) ועל מושגים מופשטים.
מושג הרציפות מעלה בעיות תפיסה קשות, משום שהוא דורש למעשה תפיסה של אינסוף. עם זאת, יש להבחין בין אין סוף מתבדר (הולך וגדל) לבין אינסוף מתכנס (הולך וקטן). מושג הרציפות עוסק בעיקר באינסוף מתכנס.

התמודדות עם מושג הרציפות במתמטיקה של העת העתיקה

רעיון הרציפות הופיע כבר בתחילת הפילוסופיה היוונית, אצל הפילוסוף אנכסגורס, אולם ההתמודדות העיקרית איתו נערכה על ידי מתמטיקאים. עם זאת, בעת העתיקה לא היתה אבחנה ברורה בין מדע ופילוסופיה.
האסכולה הפיתגוראית פיתחה תורה שלמה סביב מספרים במאה החמישית לפני הספירה. כמו כן האמינו הפיתגוראים כי המתמטיקה שלהם מתארת את העולם או שהיא זהה עם העולם. באותה עת, עסקו הפיתגוראים רק במספרים הנקראים כיום מספרים רציונליים, כלומר מספרים טבעיים (...1,2,3) או מספרים הניתנים לביטוי כמנה של מספרים טבעיים (...1/2, 1/4). הפיתגוראים נקלעו למבוכה כאשר ניסו לחשב את אורך היתר של משולש ישר זווית שאורך צלעותיו הניצבות 1 ו-1. אורך היתר במשולש זה הינו 2√. מספר זה אינו ניתן להצגה כמנה של שני מספרים טבעיים. כאשר מנסים לחשב את ערכו, מגלים כי החישוב נמשך לאין סוף. בכתיב עשרוני, תחילת השבר נראית כך: ...1.414. הפיתגוראים החליטו להתעלם ממספרים אלו, הנקראים כיום מספרים אי רציונליים. בכך, למעשה, התעלמו מבעיית הרציפות.
הפילוסוף זנון, הציג התמודדות מעמיקה יותר עם הרציפות. מטרתו היתה להוכיח את הטענה של רבו, פרמנידס, כי לא קיימת כלל חלוקה בעולם. לצורך כך ניסה זנון להראות באמצעות פרדוקסים כי גם חלוקה אטומית (בדידה) וגם חלוקה אינסופית (רציפות) מביאות לסתירות לוגיות. מנקודת מבט מודרנית, ניתן לסייג ולאמר כי זנון הראה כי שתי צורות החלוקה הללו גורמות לקשיים אינטואיטיביים (בניגוד לסתירות לוגיות).
טענתו של זנון כנגד הרציפות היתה כי כאשר מחלקים קו לאינסוף, יכולות להתקבל שתי תוצאות: האחת, שהקו מורכב מגדלים מאד קטנים. השניה, שהקו אינו מורכב מגדלים כלל. אם הקו מורכב מגדלים כלשהם, הרי שהוא לא רציף, אלא אטומי (בדיד). אם הקו אינו מורכב מגדלים כלל, אז כיצד הוא קיים? למרות שהפרדוקסים של זנון זכו לפתרונות מתמטיים כעבור כ-2,500 שנה, הקושי האינטואיטיבי נותר בעינו עד היום.
למרות הקושי האינטואיטיבי, כבר בתקופה זו פיתח ארכימדס חישוב המשתמש בחלוקה אינסופית, על מנת לחשב את שטחו של עיגול. ארכימדס הניח כי העיגול מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש. נוסחה זו עובדת היטב, אם כי כיום אנו יודעים שיש להכניס בתוכה מספר אי רציונלי בשם פאי, שלא היה ידוע לארכימדס.

התמודדות עם מושג הרציפות במתמטיקה של העת החדשה

בסוף המאה ה-17 וראשית המאה ה-18, המשיכו לייבניץ וניוטון את דרכו של ארכימדס ופיתחו חשבון המסוגל לחשב, בין היתר, את שטחן של צורות עקומות: חשבון אינפיניטסימלי (המוכר גם כ"חדו"א" – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי). גם כאן נדרשה חלוקה אינסופית. הפעם הציב החישוב גם קשיים לוגיים. במהלך החישוב הופיע מושג האינפיניטסימל - "גודל קטן לאין סוף", שדרך ההתייחסות אליו הייתה כפולה: בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס.
הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים.
הפתרון העיקרי שניתן בתחום החשבון האינפיניטסימלי היה החלפת המושג "גודל קטן עד אין סוף" במושג גבול. מושג הגבול מביע את אותו רעיון המופיע במושג "גודל קטן עד אין סוף", אולם ניסוחו המתמטי אינו יוצר קשיים לוגיים.
הפתרון העיקרי שניתן לקשיים הלוגיים שיוצרים המספרים האי רציונאליים, היה פיתוחה של תורת הקבוצות. באמצעות תורה זו הגדירו המתמטיקאים את שדה המספרים הממשיים. פתרונות אלו (ורבים אחרים) מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש לציין שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים. כמו כן, הקשיים האינטואיטיביים לא נפתרו, אלא הפכו לנחלתה של הפילוסופיה.

האם הטבע הוא רציף?

רציפות בפיזיקה

עד העת החדשה היתה שאלת הרציפות בפיזיקה היפותטית בלבד. חלק מן המדענים והפילוסופים (כמו דמוקריטוס) סברו כי הטבע מורכב מיחידות סופיות ובדידות בשם "אטומים", וחלק סברו אחרת. שאלות אלו הפכו לנחלתה של הפיזיקה, עם פיתוחן של תיאוריות חדשות במאה ה-19 ומכשירים חדשים במאה ה-20.
המכניקה הקלאסית, שפותחה על ידי ניוטון בסוף המאה ה-17, הכילה בתוכה כמה הנחות יסוד אודות הטבע. בין היתר, היא הניחה כי ניתן להבדיל בין חומר, הנתפס בחושים, לבין אנרגיה שאיננה נתפסת בחושים. על בסיס זה ניסתה הפיזיקה הקלאסית להסביר את חוקי התנועה של עצמים חומריים, כמו תנועתם של כדורי ביליארד המתנגשים זה בזה.
גישה זו גרמה לפיזיקאים להניח כי ניתן למצוא תשובה לשאלת הרציפות על ידי חלוקה של החומר ליחידות הקטנות ביותר.
במהלך המאה ה-19 הועלו תיאוריות שונות בנוגע למבנה האטום, ובתחילת המאה ה-20 החל להתברר מבנהו. מצד אחד נתגלה כי האטום מכיל חלקיקים יסודיים יותר כמו אלקטרונים, פרוטונים וקווארקים. מצד שני, התצפית בחלקיקים אלו נתגלתה כבעייתית גם בגלל גודלם וגם בגלל התנהגותם. אם בסוף המאה ה-19 סברו הפיזיקאים שיוכלו לתאר את תנועת החלקיקים כשם שמתארים תנועת כדורי ביליארד, הרי שבמהלך המאה ה-20 התברר כי זוהי משימה בלתי אפשרית.
מאז פרסום תורת היחסות של איינשטיין, לא מתבצעת אותה אבחנה חדה בין חומר לאנרגיה. מאז פרסום עיקרון אי הוודאות של הייזנברג, נראה כי בכל מקרה לא ניתן לחשב את תנועתם של חלקיקים משום שעצם התצפית משפיעה על תנועתם. מאמצע המאה העשרים לערך, החלה להתקבל תיאוריה המכונה מכניקת הקוונטים. תיאוריה זו טוענת שהחלקיקים אינם בהכרח בדידים, אלא שלעיתים הם בדידים ולעיתים הם גלים. תיאוריה זו מקבלת גם את ההנחה שלא ניתן לצפות את תנועתם של החלקיקים על פי חוקי הפיזיקה הקלאסית, אלא לכל היותר ניתן לשער אותה על ידי סטטיסטיקה.
מכל האמור לעיל משתמע כי הפיזיקה טרם הגיעה להסבר ברור ומקובל בנוגע למבנה החומר ותנועתו, או אפילו בנוגע לפירוש המושג "חומר". במצב זה, שאלת הרציפות בטבע נשארה מעורפלת מתמיד.

עמדותיהם של פילוסופים בנוגע לרציפות בטבע

במהלך העת החדשה העסיקה סוגיית הרציפות בטבע כמה פילוסופים בולטים. סעיף זה דן בפילוסופים שפעלו לפני הפיזיקה הקוונטית.
בהכללה גסה, ניתן לאמר שפילוסופים המאמינים שיש ביכולתינו לתפוס את הרציפות בשכל, מאמינים גם כי היא קיימת בטבע. גישה זו שייכת לאסכולה הנקראת ריאליזם.
דקארט טען כי הטבע הינו רציף מהסיבות הבאות:

"וכן אנו מכירים שלא יוכל להיות שקיימים מיני אטומים, שהם חלקי חומר שמטבעם אינם נחלקים... אפילו אם תדמה בנפשך קטנים בכל מידה שתרצה... נוכל לחלק במחשבה כל אחד מהם לשניים או לרבים הקטנים מהם, וכך אנו מודים שהם ניתנים לחלוקה. שהרי אין אנו יכולים לחלק דבר במחשבה אלא אם כן אנו מכירים בו שהוא ניתן לחלוקה. על כן, אם סבורים אנו שהוא אינו נחלק, דעתינו סותרת את הכרתינו. ואפילו אם נשער שרצה הבורא לעשות שיהיו בחומר חלקיקים כאלה שאינם נחלקים לקטנים מהם, עדיין אין אלו ראויים לשם בלתי נחלקים. שהרי אפילו עשאם כך, שאין ביד כל יצור נברא לחלקם, ודאי שלא יכול הבורא ליטול מיד עצמו את היכולת לחלקם, שהרי לא יוכל להיות שהוא ממעט את כוח עצמו."

סמבורסקי, שמואל: המחשבה הפיסיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 240

לייבניץ טען אף הוא כי הטבע הינו רציף:

"חושבני שאמת היא שהחומר (ואפילו כל חלק וחלק של החומר) מחולק למספר חלקים גדול יותר משאפשר לדמות. ועל כן אומר אני לעתים קרובות שכל גוף וגוף, כל כמה שיהא קטן, הוא עולם של יצורים שאין קץ למספרם. וכך איני מאמין שיש אטומים, כלומר חלקים של חומר, קשים בתכלית הקשיות או בעלי מוצקות שאי אפשר להתגבר עליה."

סמבורסקי, שמואל: המחשבה הפיסיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 44

לעומתם, ניוטון היה יותר זהיר:

"בחלקיקים שנשארים בלא פירוד יכולה רוחינו להבחין בחלקים הקטנים מהם עוד, כפי שהוכח באורח מתימטי. אולם האם החלקים שכך הם מובחנים ועדיין אינם מחולקים יכולים על ידי כוחות הטבע להיות מחולקים למעשה ומורחקים זה מזה, אין אנו יכולים לאמר בוודאות. בכל זאת, לו היתה בידינו הוכחה של ניסוי אחד בלבד, שאיזה חלקיק בלתי מחולק אמנם התחלק בשבירת גוף קשה ומוצק, היינו יכולים ללמוד בתוקף הכלל הזה שגם החלקיקים שאינם מחולקים וגם המחולקים ניתנים לחלוקה ולהפרדה בפועל עד אין סוף".

סמבורסקי, שמואל: המחשבה הפיסיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 302

האם אנו מסוגלים לתפוס רציפות?

תפיסה חושית לעומת תפיסה שכלית

ניתן לחלק את יכולת התפיסה האנושית לתפיסה חושית ולתפיסה שכלית. הגישה הפילוסופית המדגישה את התפיסה החושית נקראת אמפיריציזם, בעוד הגישה המדגישה את התפיסה השכלית נקראת רציונליזם. מאחר ואין לאדם יכולת לתפוס את הרציפות בחושים (כלומר גדלים קטנים עד אין סוף), הרי שפילוסופים אמפיריסטים נוטים לטעון שהמושג אינו רלוונטי. לעומתם, פילוסופים רציונאליסטיים נוטים לטעון כי יש ביכולתינו לתפוס רציפות בשכל.

עמדותיהם של פילוסופים בנוגע לתפיסת רציפות

ג'ון לוק, כנציג מובהק של האמפיריציזם, טען כי אין ביכולתינו לתפוס רציפות:

"מכיוון שלעולם אי אפשר למחשבותינו, בשום שיעור של חומר, להגיע עד החלוקה האחרונה, נדמה שיש לנו אינסוף גם בזה... ובכל זאת איננו יכולים לקבל... על ידי החלוקה, את מושג הגוף הקטן עד אינסוף, מכיוון שמושגינו מן האינסוף הוא מושג גדל ובורח, ההולך קדימה בלי שום גבול ושם מעצור".

סמבורסקי, שמואל: המחשבה הפיסיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972, עמ' 312

גם דוד יום, כאמפיריסט, טען כי אין ביכולתינו לתפוס רציפות:

"כושר השגתה של הרוח מוגבל הוא ולעולם לא תוכל להגיע אל השגה מלאה ונאותה של האינסוף... המושג שאנו יוצרים לנו מאיכות סופית כלשהי, אינו ניתן להתחלק עד אינסוף, אלא אפשר לנו, על ידי הבחנות והפרדות נאותות, לפרק מושג זה למושגים נחותי מידה, שיהיו פשוטים ובלתי מתחלקים לחלוטין... הדמיון מגיע לידי מינימום, ואפשר לו להעלות לפני עצמו מושג שממנו לא יוכל עוד להשיג שום חלוקת משנה, מושג שאי אפשר להפחיתו בלי לאיינו כליל. כשהנך מדבר באזני על חלק האלף ועל חלק עשרת האלפים של גרגר חול, יש לי מושג מובחן ממספרים אלו ומשיעוריהם השונים, אולם הדמויות שאני יוצר ברוחי כדי לצייר לי את הדברים עצמם, אינן נבדלות זו מזו כלל."

יום, דוד: מסכת טבע האדם, תרגום: יוסף אור, מאגנס, ירושלים, 1954, עמ' 46

לעומתם, לייבניץ טוען שאין צורך בתפיסה חושית על מנת לתפוס רציפות:

"לא אוכל לקנות לי דמות של מצולע בעל אלף צלעות, וצריך שיהיו חושיו של אדם ודמיונו דקים יותר ומאומנים יותר כדי שיבחין בדרך זו בינו ובין מצולע שיש לו צלע אחת פחות מכן. אולם דעת היצירים הגיאומטריים, ממש כדעת המספרים, אינה תלויה בדמיון, אף על פי שהדמיון מסייע לה. ומתמטיקאי יכול לדעת בדיוק את מהותו של מתושע או מעושר, מפני שהאפשרות בידו לבנותם ולבחון אותם, אף אם לא יוכל להבחין ביניהם על פי מראה עיניו... פילאלתס - כלום אפשר להכחיש שכאשר מדברים אנו על התחלקות החומר עד אינסוף, הנה אף על פי שיש לנו מושגים ברורים על ההתחלקות, אין לנו מן החלקיקים אלא מושגים עמומים מאד ומטושטשים מאד? כי הריני שואל: אם יקח אדם גרגר אבק קטן ביותר שראה מימיו, כלום יהא לו מושג מובחן כל שהוא שבעזרתו יבחין בין חלק עשרת האלפים ובין חלק המיליון של גרגיר זה? תיאופילוס – כאן שוב מוחלפים המושג והדמות, ופלא בעיני שמערבבים אותם במידה כזו. כי הענין אינו בכך שתהא לנו דמות של זעירות יתירה כל כך. היא בלתי אפשרית על פי המבנה הקיים של גופנו..."

לייבניץ, גוטפריד וילהלם: מסות חדשות על שכל האדם, תרגום: יוסף אור, ירושלים, תשכ"ז, עמ' 270

ביבליוגרפיה

  • אברון, ארנון: משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה, האוניברסיטה המשודרת, משרד הבטחון, 1998.
  • אונגרו, שבתאי: מבוא לתולדות המתמטיקה, אוניברסיטה משודרת, משרד הבטחון, 1989
  • ארבל, בנו: קיצור תולדות המתמטיקה, מופ"ת, 2005.
  • יום, דיוויד: מסכת טבע האדם, תרגום: יוסף אור, מאגנס, ירושלים, 1954
  • לוק, ג'ון: מסה על שכל האדם, תרגום: יוסף אור, מאגנס, ירושלים, תשל"ב
  • לייבניץ, גוטפריד וילהלם: השיטה החדשה, תרגום: יוסף אור, ירושלים, תרצ"א
  • לייבניץ, גוטפריד וילהלם: מסות חדשות על שכל האדם, תרגום: יוסף אור, ירושלים, תשכ"ז
  • סמבורסקי, שמואל: המחשבה הפיסיקאלית בהתהוותה, ביאליק, ירושלים, 1972
  • תולדות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, האוניברסיטה הפתוחה, 1978