התפלגות בינומית – הבדלי גרסאות
מ הוספת תבנית:בריטניקה בקישורים חיצוניים (תג) |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 57: | שורה 57: | ||
[[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]] <math>X\sim N(np,np(1-p))</math>. |
[[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]] <math>X\sim N(np,np(1-p))</math>. |
||
כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש ב[[תיקון רציפות]] על מנת לשפר את איכות הקירוב. |
כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש ב[[תיקון רציפות]] על מנת לשפר את איכות הקירוב. |
||
== התפלגויות קשורות == |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|- |
|||
! !! עם החזרה !! בלי החזרה |
|||
|- |
|||
| מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות || [[התפלגות בינומית]] || [[התפלגות היפרגאומטרית]] |
|||
|- |
|||
| מספר הוצאות עד מספר הצלחות || [[התפלגות בינומית שלילית]] || [[התפלגות היפרגאומטרית שלילית]] |
|||
|} |
|||
== ראו גם == |
== ראו גם == |
גרסה מ־01:44, 24 בדצמבר 2020
פונקציית צפיפות ההסתברות | |
פונקציית ההסתברות המצטברת | |
---|---|
מאפיינים | |
פרמטרים |
p – ההסתברות ל"הצלחה", n – מספר ההטלות |
תומך | |
פונקציית הסתברות (pmf) | |
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf) | |
תוחלת | |
סטיית תקן | |
חציון | |
ערך שכיח | |
שונות | |
אנטרופיה | |
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) | |
צידוד | |
גבנוניות |
התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים ושווי הסתברות. את הטענה שמשתנה מקרי X הוא בעל התפלגות בינומית מסמנים ב-, כאשר p היא ההסתברות להצלחה בניסוי בודד.
ההתפלגות הבינומית
ההתפלגות של משתנה בינומי היא עבור . הסימון מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.
אכן, ההסתברות להצליח בדיוק k פעמים בסדרה של n ניסויים שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שבהן יש k הצלחות ו-(n-k) כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה . לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את k הניסויים המוצלחים מתוך n, שהוא המקדם הבינומי , כפול .
סכום ההסתברויות
כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: .
תוחלת ושונות
התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא , והשונות שלו היא .
התפלגות בינומית שלילית
- ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית
נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם:
כאשר היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.
קשרים להתפלגויות אחרות
סכום של משתנים מקריים בינומיים
אם וכן הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי הסתברות זהה p אז , ז.א סכומם של המ"מ הנ"ל גם כן מתפלג בינומי.
התפלגות ברנולי
התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר ונהוג לסמן . למעשה ניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של התפלגויות ברנולי שלכולן אותה הסתברות .
קירוב על ידי התפלגות פואסון
ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר .
קירוב על ידי התפלגות נורמלית
אם גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית . כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.
התפלגויות קשורות
עם החזרה | בלי החזרה | |
---|---|---|
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות | התפלגות בינומית | התפלגות היפרגאומטרית |
מספר הוצאות עד מספר הצלחות | התפלגות בינומית שלילית | התפלגות היפרגאומטרית שלילית |
ראו גם
קישורים חיצוניים
- התפלגות בינומית, באתר MathWorld (באנגלית)
- התפלגות בינומית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
התפלגויות | ||
---|---|---|
התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון | |
התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע | |
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא | |
התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית | |
סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |