התפלגות בינומית – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת תבנית:בריטניקה בקישורים חיצוניים (תג)
אין תקציר עריכה
שורה 57: שורה 57:
[[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]] <math>X\sim N(np,np(1-p))</math>.
[[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]] <math>X\sim N(np,np(1-p))</math>.
כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש ב[[תיקון רציפות]] על מנת לשפר את איכות הקירוב.
כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש ב[[תיקון רציפות]] על מנת לשפר את איכות הקירוב.

== התפלגויות קשורות ==
{| class="wikitable"
|-
! !! עם החזרה !! בלי החזרה
|-
| מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות || [[התפלגות בינומית]] || [[התפלגות היפרגאומטרית]]
|-
| מספר הוצאות עד מספר הצלחות || [[התפלגות בינומית שלילית]] || [[התפלגות היפרגאומטרית שלילית]]
|}


== ראו גם ==
== ראו גם ==

גרסה מ־01:44, 24 בדצמבר 2020

התפלגות בינומית
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים p – ההסתברות ל"הצלחה",
n – מספר ההטלות
תומך
פונקציית הסתברות
(pmf)
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
תוחלת
סטיית תקן
חציון
ערך שכיח
שונות
אנטרופיה
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
צידוד
גבנוניות

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים ושווי הסתברות. את הטענה שמשתנה מקרי X הוא בעל התפלגות בינומית מסמנים ב-, כאשר p היא ההסתברות להצלחה בניסוי בודד.

ההתפלגות הבינומית

ההתפלגות של משתנה בינומי היא עבור . הסימון מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.

אכן, ההסתברות להצליח בדיוק k פעמים בסדרה של n ניסויים שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שבהן יש k הצלחות ו-(n-k) כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה . לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את k הניסויים המוצלחים מתוך n, שהוא המקדם הבינומי , כפול .

סכום ההסתברויות

כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: .

תוחלת ושונות

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא , והשונות שלו היא .

התפלגות בינומית שלילית

ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם:

כאשר היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

קשרים להתפלגויות אחרות

סכום של משתנים מקריים בינומיים

אם וכן הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי הסתברות זהה p אז , ז.א סכומם של המ"מ הנ"ל גם כן מתפלג בינומי.

התפלגות ברנולי

התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר ונהוג לסמן . למעשה ניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של התפלגויות ברנולי שלכולן אותה הסתברות .

קירוב על ידי התפלגות פואסון

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר .

קירוב על ידי התפלגות נורמלית

אם גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית . כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.

התפלגויות קשורות

עם החזרה בלי החזרה
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות התפלגות בינומית התפלגות היפרגאומטרית
מספר הוצאות עד מספר הצלחות התפלגות בינומית שלילית התפלגות היפרגאומטרית שלילית

ראו גם

קישורים חיצוניים