שדה (מבנה אלגברי)

מערכות מספרים ידועות: המרוכבים, הממשיים והרציונליים הם שדות

שדה הוא קבוצה שעליה פועלים חיבור, חיסור, כפל, וחילוק המתנהגים כמו הפעולות המתאימות על המספרים הרציונאליים והממשיים. שדה הוא מבנה אלגברי בסיסי אשר נעשה בו שימוש נרחב באלגברה (במיוחד באלגברה מופשטת), תורת המספרים, ותחומים רבים אחרים במתמטיקה.

השדות הידועים ביותר הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. שדות רבים אחרים, כגון שדות של פונקציות רציונליות, שדות מספרים ושדות p-אדיים, נלמדים ומשומשים רבות במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים ובגיאומטריה אלגברית. רוב הפרוטוקולים הקריפטוגרפיים נשענים על שדות סופיים, כלומר שדות עם כמות סופית של איברים.

הקשר בין שני שדות מתבטא ברעיון של הרחבת שדות. תורת גלואה, אותה התחיל אווריסט גלואה במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (האוטומורפיזמים) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן לשלש זווית או לתרבע מעגל באמצעות סרגל ומחוגה. יתרה מזאת, היא מראה כי משוואות ממעלה חמישית אינן ניתנות לפתרון אלגברי.

שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של אנליזה מתמטית, המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים המבניים של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש כסקלרים עבור מרחב וקטורי, שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור אלגברה לינארית. שדות מספרים, אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק בתורת המספרים.

היסטוריה

את ההגדרה הכללית של המושג הציע היינריך מרטין ובר ב-1893, בעקבות ריכרד דדקינד שב-1877 קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) הסגורה לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של הרחבת שדות (נוצרת סופית) השתמש גלואה כבר ב-1831.

הגדרה

מבוא אינטואיטיבי

באופן לא פורמלי, שדה הוא קבוצה יחד עם שתי פעולות שהוגדרו עליה – פעולת חיבור הנכתבת על ידי $a+b$ ופעולת כפל הנכתבת על ידי $a\cdot b$ – כאשר שניהם מתנהגים באופן דומה לחיבור וכפל אצל מספרים רציונליים ומספרים ממשיים, כולל קיומו של מספר נגדי $-a$ לכל $a$ ושל מספר הופכי $b^{-1}$ לכל $b$ שונה מאפס. זה מאפשר לשקול גם את מה שנקרא פעולות "הפוכות" של חיסור, $a-b$ וחלוקה, ${\frac {a}{b}}$, על ידי הגדרת:

$a-b=a+(-b)$

${\frac {a}{b}}=a\cdot (b^{-1})$

הגדרה פורמלית

שדה $F$ זו קבוצה עם שתי פעולות בינאריות הנקראות חיבור וכפל. תוצאת החיבור של $a,b$ מסומנת $a+b$ ותוצאת הכפל מסומנת $a\cdot b$, או בקיצור $ab$. הפעולות הללו חיובות לקיים את האקסיומות הבאות לכל $a,b,c$ ב- $\ F$:

• קומוטטיביות של חיבור ושל כפל: $a+b=b+a$ והן $a\cdot b=b\cdot a$ (בעברית, חוק החילוף)
• אסוציאטיביות של חיבור ושל כפל: $(a+b)+c=a+(b+c)$ והן $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ (בעברית, חוק הקיבוץ)
• איברים נייטרליים לחיבור ולכפל: קיימים איברים שונים $0,1\in F$ המקיימים $a+0=a$ ו-$a\cdot 1=a$
• קיום מספר נגדי: לכל $a$ קיים $b$ כך ש-$a+b=0$
• קיום מספר הופכי: לכל $a$ שונה מ-0 קיים $b$ כך ש-$a\cdot b=1$
• דיסטריבוטיביות: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (בעברית, חוק הפילוג)

כל זה ניתן לקיצור באמירה כי שדה זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל כאשר השדה עם פעולת החיבור זו חבורה אבלית, השדה בלי 0 עם פעולת הכפל זו חבורה אבלית, ומתקיימת דיסטריבוטיביות. זה ניתן לסיכום אפילו יותר בקצרה באמירה כי שדה הוא חוג קומוטטיבי שבו כל איבר שונה מ-0 הוא הפיך.

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידות של האיברים הנייטרליים (כלומר, התכונה $\ a+x=a$ לכל $a$ מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

דוגמאות

לצד החבורה, השדה הוא מן המבנים האלגבריים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים; שדות אלגבריים הם המצע השכיח לדיון בתורת המספרים האלגברית; לשדות סופיים יש חשיבות מכרעת בכל תחומי הקומבינטוריקה; שדות של פונקציות מופיעים בגאומטריה אלגברית ובאנליזה.

באלגברה שדות תופסים מקום מיוחד. הם קשורים קשר הדוק לפולינומים והשורשים שלהם (וזו הסיבה המקורית לפיתוחה של תורת גלואה). אלגברה ליניארית עוסקת בהרחבה במרחב וקטורי מעל שדה. בתורת החוגים שדות מופיעים באופן טבעי, משום שחוג פשוט קומוטטיבי הוא שדה; כל שדה הוא תחום שלמות. יתרה מזו, המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה.

השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון סדר ושלמות. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים.

ישנם כמה שדות שזכו לסימון מיוחד:

• $\mathbb {Q}$ - שדה המספרים הרציונליים.
• $\mathbb {R}$ - שדה המספרים הממשיים.
• $\mathbb {C}$ - שדה המספרים המרוכבים.
• $\mathbb {F} _{q}$ - השדה הסופי מסדר $\ q$ (משתמשים גם בסימון $\ GF(q)$, קיצור ל- Galois Field, על-שם אווריסט גלואה).
• $\mathbb {Q} _{p}$ - שדה המספרים ה-p-אדיים המתאים למספר הראשוני $p$.

תת-שדות

תת-קבוצה של שדה $F$ נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במילים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של $F$, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההפכי.

אם $P$ הוא תת-שדה של $F$, אז $F$ הוא מרחב וקטורי מעל $P$, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, $F$ מוכרח להיות אלגברי מעל $P$. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה $F$ המכילה את $P$ וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.

ראו גם

• הרחבת שדות
• תורת גלואה

קישורים חיצוניים

• שדה (מבנה אלגברי), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• שדה, באתר MathWorld (באנגלית)