התפלגות בינומית – הבדלי גרסאות
אין תקציר עריכה |
מ פרמטר להתפלגות בדידה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{נתוני התפלגות |
{{נתוני התפלגות |
||
| שם = התפלגות בינומית |
| שם = התפלגות בינומית |
||
| תמונת |
| תמונת הסתברות = Binomial distribution.svg |
||
| גודל תמונה = 300 |
| גודל תמונה = 300 |
||
| תמונת מצטברת = Binomial distribution cdf.png |
| תמונת מצטברת = Binomial distribution cdf.png |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
| שונות = <math>np(1-p)</math> |
| שונות = <math>np(1-p)</math> |
||
| אנטרופיה = <math> \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi e\ n p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right) </math> |
| אנטרופיה = <math> \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi e\ n p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right) </math> |
||
| מומנטים = <math>(1-p + pe^{ |
| מומנטים = <math>(1-p + pe^{t})^n \!</math> |
||
| |
| אופיינית = <math>(1-p + pe^{it})^n \!</math> |
||
| צידוד = <math>\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)} }\!</math> |
|||
}}\!</math> |
|||
| גבנוניות = <math>\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!</math> |
| גבנוניות = <math>\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!</math> |
||
}} |
}} |
||
שורה 61: | שורה 61: | ||
{| class="wikitable" |
{| class="wikitable" |
||
|- |
|- |
||
! |
! !! עם החזרה !! בלי החזרה |
||
|- |
|- |
||
| מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות || [[התפלגות בינומית]] || [[התפלגות היפרגאומטרית]] |
| מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות || [[התפלגות בינומית]] || [[התפלגות היפרגאומטרית]] |
גרסה מ־12:09, 15 בינואר 2021
פונקציית ההסתברות | |
פונקציית ההסתברות המצטברת | |
---|---|
מאפיינים | |
פרמטרים |
p – ההסתברות ל"הצלחה", n – מספר ההטלות |
תומך | |
פונקציית הסתברות (pmf) | |
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf) | |
תוחלת | |
סטיית תקן | |
חציון | |
ערך שכיח | |
שונות | |
אנטרופיה | |
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) | |
פונקציה אופיינית | |
צידוד | |
גבנוניות |
התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים ושווי הסתברות. את הטענה שמשתנה מקרי X הוא בעל התפלגות בינומית מסמנים ב-, כאשר p היא ההסתברות להצלחה בניסוי בודד.
ההתפלגות הבינומית
ההתפלגות של משתנה בינומי היא עבור . הסימון מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.
אכן, ההסתברות להצליח בדיוק k פעמים בסדרה של n ניסויים שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שבהן יש k הצלחות ו-(n-k) כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה . לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את k הניסויים המוצלחים מתוך n, שהוא המקדם הבינומי , כפול .
סכום ההסתברויות
כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: .
תוחלת ושונות
התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא , והשונות שלו היא .
התפלגות בינומית שלילית
- ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית
נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם:
כאשר היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.
קשרים להתפלגויות אחרות
סכום של משתנים מקריים בינומיים
אם וכן הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי הסתברות זהה p אז , ז.א סכומם של המ"מ הנ"ל גם כן מתפלג בינומי.
התפלגות ברנולי
התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר ונהוג לסמן . למעשה ניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של התפלגויות ברנולי שלכולן אותה הסתברות .
קירוב על ידי התפלגות פואסון
ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר .
קירוב על ידי התפלגות נורמלית
אם גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית . כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.
התפלגויות קשורות
עם החזרה | בלי החזרה | |
---|---|---|
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות | התפלגות בינומית | התפלגות היפרגאומטרית |
מספר הוצאות עד מספר הצלחות | התפלגות בינומית שלילית | התפלגות היפרגאומטרית שלילית |
ראו גם
קישורים חיצוניים
- התפלגות בינומית, באתר MathWorld (באנגלית)
- התפלגות בינומית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
התפלגויות | ||
---|---|---|
התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון | |
התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע | |
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא | |
התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית | |
סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |