לדלג לתוכן

חבורת סימטריות – הבדלי גרסאות

הוסרו 3 בתים ,  לפני 15 שנים
מ
זוטות.
מ (אני חושב שזה הבינויקי)
מ (זוטות.)
ב[[מתמטיקה]] ויישומיה, '''חבורת סימטריות''' של אובייקט (מוחשי או מופשט) היא האוסף של כל הדרכים לשנות את האובייקט, תוך שמירה על תכונותיו היסודיות. דרכים אלו, העשויות לכלול למשל סיבובים השומרים את האובייקט במקומו, נקראות "פעולות". ה[[הרכבה של פונקציות|הרכבה]] של פעולות, דהיינו, ביצוען בזו אחר זו, הופך את האוסף ל[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], שתכונותיה כרוכות באלו של האובייקט שבו מדובר.
 
התכולה המדוייקתהמדויקת של חבורת הסימטריות תלויה בשלושה גורמים: התכונות של האובייקט שאותן צריכות הפעולות לשמור, המגבלות הנוספות המוטלות על פעולות אלה, והקריטריונים שלפיהם מחשיבים שתי פעולות כשונות זו מזו. בחישוב הסימטריות של אובייקט גאומטרי, מקובל לדרוש שהאובייקט יחזור בסוף הפעולה למקומו, שהפעולות תהיינה ניתנות לביצוע ב[[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] שבו האובייקט מופיע, ופעולות שונות צריכות להבדל זו מזו במיקומן הסופי של הנקודות המרכיבות את האובייקט. בלשון מתמטית, פירושו של התנאי השני הוא שהפעולות תהיינה מושרות על-ידי אוטומורפיזמים של המרחב עצמו, או שתהיינה ניתנות להרחבה לאוטומורפיזם של המרחב.
 
חבורת הסימטריות של [[מערכת מתמטית]] נקראת [[חבורת אוטומורפיזמים]]. מחוץ לתחומי המתמטיקה, לחבורות של סימטריות יש חשיבות רבה בעיקר בפיזיקה תאורטית, ב[[כימיה]] וב[[קריסטלוגרפיה]].
 
== דוגמאות ==
== סימטריות של אובייקטים מרחביים ==
 
חבורת הסימטריות של אובייקט מרחבי סופי מוכרחה לשמור את נקודת [[מרכז כובד|מרכז הכובד]] שלו במקומו, ולכן היא מורכבת, בעיקרו של דבר, מסיבובים שונים של המרחב. לעומת זאת, חבורת הסימטריות של [[סריג (גאומטריה)|סריג]] אינסופי (המשמש מודל מקובל גם עבור עצמים סופיים, כגון גבישים[[גביש]]ים) עשויה לכלול גם הזזות. במקרה כזה, אוסף הסימטריות השומרות על נקודה קבועה של האובייקט מהווה תת-חבורה של חבורת הסימטריות המלאה; כל תת-החבורות מסוג זה צמודות זו לזו, ומבחינת תורת החבורות אין דרך להבדיל ביניהן.
 
במקרים מסויימיםמסוימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט. לדוגמא, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא [[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית האינסופית]]; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות <math>\ \sigma</math>), שיקוף <math>\ \tau</math> סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה. הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \tau</math>. הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau\sigma^{-1}</math>. ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau = \tau\sigma^{-1}</math>. החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).
 
== ראו גם ==