לדלג לתוכן

החבורה הליניארית הכללית – הבדלי גרסאות

מ
תוספות
(דף חדש: בתורת החבורות, החבורה הלינארית הכללית מממד n מעל השדה (מבנה אלגברי) F, היא אוסף ה[[מטריצה הפיכה|מטרי...)
 
מ (תוספות)
ב[[תורת החבורות]], החבורה הלינארית הכללית מממדממעלה n מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, היא אוסף ה[[מטריצה הפיכה|מטריצות ההפיכות]] בעלות n שורות ועמודות שאיבריהן שייכים לשדה F, יחד עם פעולת [[כפל מטריצות]]. זוהי [[חבורה]] שאיברשהאיבר היחידההנייטרלי שלה הוא מטריצת היחידה. זוהי אחת מהחבורות הבסיסיות הנחקרות בתורת החבורות. [[תת חבורה]] של החבורה הלינארית הכללית נקראת '''חבורה לינארית''' או בפשטות [[חבורת מטריצות]].
 
באופן שקול, ניתן להגדיר את החבורה לינארית הכללית גם כאוסף [[העתקה לינארית|ההעתקות הלינאריות]] ההפיכות מעל [[מרחב וקטורי]] V מממד n מעל השדה F. היות וכל המרחבים הוקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הוקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הלינארית הכללית כ[[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של V ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל: <math>\ GL_n (F)</math> או (GL(n,F, וכאשר משתמשים בהגדרה השניה - <math>\ GL(V)</math>.
 
המאפיינים האלגבריים של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הלינאריות, כמו לדוגמה קיום ה[[דטרמיננטה]], מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמאלדוגמה החבורה הלינארית המיוחדת, <math>\ SL_n (F)</math>, היא תת-החבורה של החבורה הלינארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. <math>\ SL_n (F)</math> היא [[תת חבורת הקומוטטורים]] של <math>\ GL_n (F)</math>, והיא בעצמה חבורה מושלמת אלא אם כן n=2 והשדה F הוא בגודל 2 או 3.
 
החבורה הלינארית הכללית אינה [[חבורה אבלית|אבלית]], כל עוד n איננו 1. כאשר n=1, החבורה הלינארית הכללית היא פשוט החבורה הכפלית של השדה F.
 
כאשר השדה F מעליו החבורה מוגדרת הוא [[שדה המספרים הממשיים]] או [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]] (GL(n,F היא [[חבורת לי]] מממד n<sup>2</sup>.
 
[[קטגוריה:אלגברה]]