תחום יסודי – הבדלי גרסאות

בהינתן [[מרחב טופולוגי]] ו[[פעולת חבורה|חבורה הפועלת]] עליו, אוסף ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונות]] של נקודה יחידה (תחת פעולת החבורה) מהווה [[פעולת חבורה#מסלולים ומייצבים|מסלול]] של הפעולה. '''תחום יסודי''' (ב[[אנגלית]]: '''Fundamental domain''') של המרחב ביחס לפעולת החבורה הנתונה הוא תת-קבוצה של המרחב המכילה בדיוק נקודה אחת מכל אחד מהמסלולים הללו. התחום היסודי משמש כמימוש גאומטרי של קבוצת הנציגים של המסלולים.

 

 

== הגדרה פורמלית ==

* בעבור פעולת [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] ביחס למישור: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות משני צידי המישור, או נקודה יחידה על המישור; התחום היסודי יכול להיבחר להיות כל אחד מחצאי-המרחב ביניהם חוצץ המישור.

* בעבור שיקוף ביחס לנקודה: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות או נקודה יחידה (במידה ונבחרה הנקודה ביחס אליה מתבצע השיקוף); התחום היסודי יכול להיבחר להיות אחד מחצאי המרחב שיוצר כל מישור העובר דרך הנקודה.

 

== תחום יסודי עבור החבורה המודולרית ==

התרשים משמאל מציג (באפור) את התחום היסודי תחת פעולת [[חבורה מודולרית|החבורה המודולרית]] Γ על חצי המישור העליון ''H''.

 

<math>\pi/3</math> כל אחת. הוא מוגבל מלמטה על ידי מעגל היחידה ומוגבל מן הצדדים על ידי שני קווים אנכיים המרוחקים יחידה אופקית זה מזה; באופן פורמלי:

:<math>U = \left\{ z \in H: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}.</math>