לדלג לתוכן

משפט בליכפלדט – הבדלי גרסאות

הוסרו 4 בתים ,  לפני 7 חודשים
יישומים רבים של משפט בליכפלדט, כגון השימוש בו להוכחת למת מינקובסקי, חותרים למציאת נקודת סריג שונה מאפס בעבור קבוצה גדולה מספיק, אך כזאת שאינה קמורה. בהוכחת למת מינקובסקי, קשר המפתח בין הקבוצות <math>X</math> ו-<math>\tfrac{1}{2}X</math> אשר גורם להוכחה כולה לעבוד הוא העובדה שכל ההפרשים בין זוגות של נקודות (כלומר ההפרשים בין הוקטורים המתאימים לנקודות) ב-<math>\tfrac{1}{2}X</math> משתייכים ל-<math>X</math>. אף על פי כן, בעבור קבוצה <math>X</math> שאינה קמורה, ייתכן מצב בו ההפרש בין זוג נקודות של <math>\tfrac{1}{2}X</math> אינו שייך <math>X</math>, מה שהופך את הטכניקה של הוכחת למת מינקובסקי ללא שמישה. ניתן במקום זאת למצוא את תת הקבוצה הקמורה והסימטרית ביחס לראשית הגדולה ביותר <math>K\subset X</math>, ואז להפעיל את בלמת מינקובסקי לגבי <math>K</math>, או באופן שקול להשתמש במשפט בליכפלדט לגבי <math>\tfrac{1}{2}K</math>. אף על פי כן, במקרים רבים לקבוצה לא קמורה <math>X</math> יש תת-קבוצה <math>Y\subset X</math> שהיא גדולה יותר מ-<math>\tfrac{1}{2}K</math>, אשר כל ההפרשים בין זוגות נקודות שלה שייכים ל-<math>X</math>. כאשר זה המקרה, גודלה הרב יותר של <math>Y</math> בהשוואה ל-<math>\tfrac{1}{2}K</math> מוביל לחסמים טובים יותר לגבי השאלה כמה גדולה צריכה להיות הקבוצה <math>X</math> כדי להבטיח שהיא תכיל נקודת סריג.
 
בעבור [[תחום כוכבי]] סימטרי ביחס לראשית, ניתן להיעזר ב[[חשבון הוריאציות]], כדי למצוא את הקבוצה הגדולה ביותר <math>X'</math> אשר כל ההפרשים בין נקודות שלה שייכים ל-<math>X</math>. יישום מענייניםמעניין אחד של הטכניקות הללו הוא לבעיה של [[קירוב דיופנטי|קירובים דיופנטיים]] סימולטניים, שנוגעת לשאלה איך לקרב קבוצה של מספרים אי-רציונליים על ידי מספרים רציונליים שלכולם יש מכנה זהה.
 
== הכללות ==