פונקציה חד-חד-ערכית ועל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ניסוח |
הבהרה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{סימון מתמטי}} |
{{סימון מתמטי}} |
||
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה חד-חד-ערכית ועל''' (נקראת גם בִּייקציָה; ב[[אנגלית]]: '''Bijection''') היא [[פונקציה]] המקבלת את כל הערכים ב[[טווח של פונקציה|טווח]], פעם אחת בלבד. |
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה חד-חד-ערכית ועל''' (נקראת גם בִּייקציָה; ב[[אנגלית]]: '''Bijection''') היא [[פונקציה]] המקבלת את כל הערכים ב[[טווח של פונקציה|טווח]], וכל אחד מהם מתקבל פעם אחת בלבד. |
||
באופן פורמלי: <math>f:X\rarr Y</math> חד-חד-ערכית ועל [[אם ורק אם]] לכל <math>b\in Y</math> '''קיים''' <math>a\in X</math> '''יחיד''' כך ש <math>f(a) = b</math>. בתנאי זה, קיומו של <math>a</math> מבטא את העובדה שהפונקציה היא [[פונקציה על]], והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים <math>a,a'</math> שונים שעבורם <math>f(a) = f(a')</math> מבטאת את העובדה שהפונקציה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]]. |
באופן פורמלי: <math>f:X\rarr Y</math> חד-חד-ערכית ועל [[אם ורק אם]] לכל <math>b\in Y</math> '''קיים''' <math>a\in X</math> '''יחיד''' כך ש <math>f(a) = b</math>. בתנאי זה, קיומו של <math>a</math> מבטא את העובדה שהפונקציה היא [[פונקציה על]], והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים <math>a,a'</math> שונים שעבורם <math>f(a) = f(a')</math> מבטאת את העובדה שהפונקציה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]]. |
גרסה מ־00:08, 15 בדצמבר 2021
בערך זה |
במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל (נקראת גם בִּייקציָה; באנגלית: Bijection) היא פונקציה המקבלת את כל הערכים בטווח, וכל אחד מהם מתקבל פעם אחת בלבד.
באופן פורמלי: חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם לכל קיים יחיד כך ש . בתנאי זה, קיומו של מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים שונים שעבורם מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.
דוגמאות
- מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכיסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כיסאות פנויים באולם.
- פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.
- הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא וגם ).
- הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת.
דיאגרמות להמחשה
-
פונקציה חד-חד-ערכית ועל
-
פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על
-
פונקציה על שאינה חד-חד-ערכית
-
פונקציה שאינה חד-חד-ערכית ואינה על
תכונות ושימושים
- אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות ו- נקראות "שקולות" והן בעלות אותה עוצמה.
- פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא יחס סימטרי.
- אם על הקבוצות מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
- אוסף התמורות על קבוצה הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)