סגור (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ כיצד לבטא את המילה סגור? |
מ ועדת קישוט |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות [[פנים (טופולוגיה)|הפנים]] |
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות [[פנים (טופולוגיה)|הפנים]] |
||
*כל [[קבוצה סגורה]] שווה לסגור שלה: <math>\!\, A=Cl(A)</math>. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן <math>\!\, Cl(A)=Cl\left(Cl(A)\right)</math>. |
*כל [[קבוצה סגורה]] שווה לסגור שלה: <math>\!\, A=\mbox{Cl}(A)</math>. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\mbox{Cl}\left(\mbox{Cl}(A)\right)</math>. |
||
*<math>\!\, A\subseteq B \rArr Cl(A)\subseteq Cl(B)</math>. |
*<math>\!\, A\subseteq B \rArr \mbox{Cl}(A)\subseteq \mbox{Cl}(B)</math>. |
||
*<math>\!\, Cl\left(A\cap B\right)\subseteq Cl(A)\cap Cl(B)</math>. |
*<math>\!\, \mbox{Cl}\left(A\cap B\right)\subseteq \mbox{Cl}(A)\cap \mbox{Cl}(B)</math>. |
||
*<math>\!\, Cl\left(A\cup B\right)= Cl(A)\cup Cl(B)</math>. |
*<math>\!\, \mbox{Cl}\left(A\cup B\right)= \mbox{Cl}(A)\cup \mbox{Cl}(B)</math>. |
||
*<math>\!\, f</math> היא [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>\!\, A</math> בתחום שלה מתקיים <math>\!\, f\left(Cl(A)\right)\subseteq Cl\left(f(A)\right)</math>. |
*<math>\!\, f</math> היא [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>\!\, A</math> בתחום שלה מתקיים <math>\!\, f\left(\mbox{Cl}(A)\right)\subseteq \mbox{Cl}\left(f(A)\right)</math>. |
||
* אם <math>\!\, A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>\!\, A\subseteq B\subseteq Cl(A)</math> מתקיים שגם <math>\!\, B</math> קבוצה קשירה. |
* אם <math>\!\, A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>\!\, A\subseteq B\subseteq \mbox{Cl}(A)</math> מתקיים שגם <math>\!\, B</math> קבוצה קשירה. |
||
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, Cl(A)=X</math> נקראת [[קבוצה צפופה]]. |
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=X</math> נקראת [[קבוצה צפופה]]. |
||
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, Int\left(Cl(A)\right)=\emptyset</math> נקראת [[קבוצה דלילה]]. |
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, \mbox{Int}\left(\mbox{Cl}(A)\right)=\emptyset</math> נקראת [[קבוצה דלילה]]. |
||
[[קטגוריה:טופולוגיה]] |
[[קטגוריה:טופולוגיה]] |
גרסה מ־01:04, 12 ביולי 2007
בטופולוגיה, סגוֹר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
הגדרה פורמלית
יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות , אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי:
- .
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
- היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
- , כאשר היא קבוצת כל נקודות ההצטברות של .
- הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .
תכונות הנוגעות לסגור
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
- .
- .
- .
- היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים .
- אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.