חוג נתרי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־19:09, 9 באוגוסט 2007

באלגברה מופשטת, חוג נותרי הינו חוג עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה (ACC - Ascending Chain Condition) על האידיאלים השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידיאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של אמי נתר אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה דויד הילברט. מתנאי השרשרת נובע שכל אידיאל שמאלי של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מאפשרת מגבילה את הגודל של חוגים נותריים. במידה ידועה, "תורת החוגים" עוסקת בעיקר בחוגים נותריים, משום שחוגים שאינם נותריים הם פראיים ומסובכים מכדי שאפשר יהיה להבין אותם.

אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא שממד קרול שלהם תמיד סופי - ולכן אפשר ללמוד אותם באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידיאלים ראשוניים. כל אלגברה אפינית (קומוטטיבית) היא חוג נותרי, ומכאן חשיבותם של חוגים אלה בגאומטריה אלגברית.

תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים ארטיניים. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נותרי (משפט הופקינס-לויצקי). חוגים נותריים מקיימים את תנאי משפט גולדי, על שיכון חוגים נותריים בחוגים ארטיניים.

הגדרות

הנותריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידיאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:

חוג נותרי-ימני - חוג המקיים את התנאי ACC על אידיאלים ימניים
חוג נותרי חלש - חוג המקיים את התנאי ACC על אידיאלים דו-צדדיים

ישנם חוגים נותריים שאינם נותריים ימניים (ולהיפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.

קריטריון לחוג נותרי

חוג הוא נותרי אם ורק אם הוא נותרי כמודול מעל עצמו (משום שהאידיאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).

"תנאי המקסימום" (לאידיאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידיאלים שמאליים בחוג $\ R$ , קיים איבר מקסימלי, כלומר אידיאל שלא מוכל באף אידיאל אחר מהקבוצה (למרות שאידיאל כזה בדרך כלל אינו אידיאל מקסימלי). חוג R הוא נותרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידיאלים שמאליים.

מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידיאל שמאלי בחוג מוכל באידיאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי הלמה של צורן.

"תנאי הבסיס הסופי": כל אידיאל שמאלי $\ I$ ב- $\ R$ נוצר סופית (כלומר קיימים $\ a_{1},a_{2},...,a_{n}$ ב- $\ R$ כך ש $\ I=Ra_{1}+Ra_{2}+...+Ra_{n}$ ). החוג R מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נותרי.

משפט. חוג קומוטטיבי הוא נותרי אם ורק אם כל אידיאל ראשוני נוצר סופית.

תכונות

בחוג נותרי $\ R$ , כל אידיאל מכיל מכפלה של אידיאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום.

כל שדה הוא חוג נותרי. זה נובע מכך שהאידיאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו- $\ \{0\}$ .
משפט הבסיס של הילברט: אם $\ R$ חוג נותרי אז $\ R[x]$ חוג נותרי ( $\ R[x]$ הינו חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל $\ R$ ). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - ע"י תנאי המקסימום וע"י תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של הילברט עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
כל תמונה הומומורפית $\ R'$ של חוג נותרי $\ R$ היא נותרית בעצמה. במלים אחרות, אם

$\ R$ חוג נותרי ו- $\ I$ אידיאל, אז חוג המנה $\ R/I$ גם הוא נותרי. הוכחה: נשתמש בתנאי הבסיס הסופי. המקור של כל אידיאל $\ I'$ ב- $\ R'$ הוא אידיאל $\ I$ ב- $\ R$ , והתמונה של כל אידיאל נוצר סופית ב- $\ R$ היא אידיאל נוצר סופית ב-'R. מכיוון שכל אידיאל ב- $\ R$ נוצר סופית (ע"פ תנאי הבסיס הסופי), מקבלים שכל אידיאל ב- $\ R'$ נוצר סופית ולכן $\ R'$ נותרי. משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותרית.

כל תחום שלמות נותרי $\ R$ הוא חוג אטומי, כלומר: כל איבר $\ a$ שאינו הפיך אפשר להציג כמכפלה של איברים אי-פריקים הוא מכפלת איברים אי פריקים מתוך $\ R$ .

הוכחה: נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נותרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה $\left\{a_{n}\right\}$ על ידי הכללים: $\ a_{1}=a$
; $\ a_{n}$ הוא מחלק אמיתי של $\ a_{n-1}$ (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה $\ Ra_{n}$ יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, ע"פ תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה $\left\{b_{n}\right\}$ המוגדרת על ידי: $\ b_{1}=a$
; $\ b_{n-1}=b_{n}p_{n}$ , כאשר $\ p_{n}$ אי-פריק. קיבלנו ש $\ a=p_{2}...p_{m}b_{m}$ הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.

כל תחום ראשי הוא נותרי (מכיוון שהאידיאלים שלו נוצרים סופית).

דוגמאות

חוג המספרים השלמים - $\ \mathbb {Z}$ . זה נובע מכך ש- $\ \mathbb {Z}$ הוא תחום ראשי.
חוג השלמים ה-p-אדיים $\mathbb {Z} _{p}$ כאשר $\ p$ ראשוני. בחוג זה כל אידיאל נוצר ע"י חזקה של $\ p$ .
חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: $\mathbb {C} [x,y]$ . בחוג זה כל האידיאלים נוצרים סופית. (לפי משפט הבסיס של הילברט).
דוגמא לחוג לא חילופי שהוא נותרי-ימני אך לא נותרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל $\ 2\times 2$ המוגדר: $\ R={\begin{pmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \\\end{pmatrix}}$ .
ניתן לראות שחוג זה אינו נותרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת האידיאלים הבאה: $\ I_{n}=\{{\begin{pmatrix}0&{\frac {m}{2^{n}}}\\0&0\\\end{pmatrix}}|m\in \mathbb {Z} \}$ .
עבור כל $\ n$ , $\ I_{n}$ הוא אידיאל שמאלי ב- $\ R$ , ומתקיים: $\ I_{0}\subsetneq I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq ...$ . יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נותרי שמאלי. לעומת זאת החוג $\ R$ הוא נותרי ימני (הוכחה).

מקורות

Oscar Zariski, Pierre Samuel. Commutative Algebra, D.Van Nostrand Company, New Jersey. Chapter 4
Louis H.Rowen. Ring Theory, Volume 1, Academic Press, San Diego

קישורים חיצוניים

@@ שורה 33: / שורה 33: @@
 משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותרית.
-* כל [[תחום שלמות]] נותרי <math>\ R</math> הוא [[חוג אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] הוא מכפלת איברים אי פריקים מתוך <math>\ R</math>.<br />.
+* כל [[תחום שלמות]] נותרי <math>\ R</math> הוא [[חוג אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] הוא מכפלת איברים אי פריקים מתוך <math>\ R</math>.
 '''הוכחה:''' נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נותרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה <math>\left\{a_n\right\}</math> על ידי הכללים: <math>\ a_1 = a</math><br />;
-<math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה <math>\ R</math><math>\ a_n</math> יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, ע"פ תנאי ה-ACC, זו שרשרת  סופית,  והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה <math>\left\{b_n\right\}</math> המוגדרת על ידי: <math>\ b_1 = a</math><br />;
+<math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה <math>\ Ra_n</math> יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, ע"פ תנאי ה-ACC, זו שרשרת  סופית,  והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה <math>\left\{b_n\right\}</math> המוגדרת על ידי: <math>\ b_1 = a</math><br />;
 <math>\ b_{n-1} = b_np_n</math>,  כאשר <math>\ p_n</math> אי-פריק.
 קיבלנו ש <math>\ a=p_2 ... p_m b_m</math> הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
 * כל [[תחום ראשי]] הוא נותרי (מכיוון שהאידיאלים שלו נוצרים סופית).
 ==דוגמאות==