בעיית בזל – הבדלי גרסאות
מ בסל->בזל |
מ קישורים |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
'''בעיית בזל''' היא בעיה מפורסמת ב[[תורת המספרים]], שהוצגה לראשונה בשנת [[1644]], ונפתרה על ידי [[לאונרד אוילר]] בשנת [[1735]]. |
'''בעיית בזל''' היא בעיה מפורסמת ב[[תורת המספרים]], שהוצגה לראשונה בשנת [[1644]], ונפתרה על ידי [[לאונרד אוילר]] בשנת [[1735]]. כיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח נסיונות מתמשכים של ה[[מתמטיקאי]]ם המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר, כאשר היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעייה באמצעות [[פונקציית זטא]] ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה ל[[ברנרד רימן]], אשר בעבודתו משנת [[1859]] הגדיר את [[פונקציית זטא של רימן]] והוכיח את תכונותיה הבסיסיות. הבעיה נקראת על שם [[בזל]], עירו של אוילר כמו גם של בני משפחת [[ברנולי]], שלא הצליחו לפתור את הבעיה. |
||
בעיית בזל היא מציאת שיטה לחישוב |
בעיית בזל היא מציאת שיטה לחישוב סכום [[טור אינסופי|הטור האינסופי]] של הערכים ה[[מספר הופכי|הופכי]]ים של [[ריבוע (חזקה)|ריבועי]] ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כלומר: ? = <math>\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2</math>. סכום טור זה שווה בקירוב ל- 1.644934 . בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של סכום הטור, כלומר ל[[הוכחה]] לגודלו של סכום זה. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא <math>\,\frac{\pi^2}{6}</math> ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על שיטות שלא נראו עד אז. |
||
== פתרונו של אוילר == |
== פתרונו של אוילר == |
||
פתרונו של אוילר לבעייה הוא |
פתרונו של אוילר לבעייה הוא מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעייה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: יהי <math>f(x)=\ sin x</math> . נפתח את [[טור טיילור]] לפונקציה sin x ונקבל: |
||
:<math>\,\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\dots </math> |
:<math>\,\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\dots </math> |
||
נחלק ב-x ונקבל: |
נחלק ב-x ונקבל: |
||
שורה 31: | שורה 31: | ||
== פתרון באמצעות אנליזה הרמונית == |
== פתרון באמצעות אנליזה הרמונית == |
||
את הבעייה אפשר לפתור כמקרה פרטי של |
את הבעייה אפשר לפתור כמקרה פרטי של [[טור פורייה]]: פיתוח [[פונקציה מחזורית]] בקטע לטור של [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוסים]] ו[[קוסינוס]]ים. |
||
תהי <math>\ f </math> פונקציית הזהות <math>\ f(x)=x</math> בקטע <math>\ [-\pi,\pi]</math>. כדי ש[[טור פורייה]] שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה |
תהי <math>\ f </math> פונקציית הזהות <math>\ f(x)=x</math> בקטע <math>\ [-\pi,\pi]</math>. כדי ש[[טור פורייה]] שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זה הפונקציה איננה [[רציפה]] ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה. |
||
נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של |
נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים נופלים ורק הסינוסים נשארים (זאת מאחר והסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית). |
||
לכן, |
לכן, |
גרסה מ־22:46, 23 באוגוסט 2007
בעיית בזל היא בעיה מפורסמת בתורת המספרים, שהוצגה לראשונה בשנת 1644, ונפתרה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1735. כיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח נסיונות מתמשכים של המתמטיקאים המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר, כאשר היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית. אוילר הכליל את הבעייה באמצעות פונקציית זטא ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה לברנרד רימן, אשר בעבודתו משנת 1859 הגדיר את פונקציית זטא של רימן והוכיח את תכונותיה הבסיסיות. הבעיה נקראת על שם בזל, עירו של אוילר כמו גם של בני משפחת ברנולי, שלא הצליחו לפתור את הבעיה.
בעיית בזל היא מציאת שיטה לחישוב סכום הטור האינסופי של הערכים ההופכיים של ריבועי המספרים הטבעיים, כלומר: ? = . סכום טור זה שווה בקירוב ל- 1.644934 . בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של סכום הטור, כלומר להוכחה לגודלו של סכום זה. אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על שיטות שלא נראו עד אז.
פתרונו של אוילר
פתרונו של אוילר לבעייה הוא מקורי ומבריק. הוא תקף את הבעייה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז. טיעונו של אוילר הוא כזה: יהי . נפתח את טור טיילור לפונקציה sin x ונקבל:
נחלק ב-x ונקבל:
כעת, פונקציה זו מתאפסת בנקודות מהצורה כאשר . נניח, לפיכך, כי ניתן, בדומה לפולינומים להביע את כמכפלת האפסים שלה:
כעת, אם נכפול בצורה פורמלית ביטוי זה, ונאסוף את המקדמים של , נקבל כי המקדם של ב הוא
אך מטור טיילור של , אנו יודעים כי המקדם של הוא . אך שני מקדמים אלו חייבים להיות שווים זה לזה, ולפיכך
ועל ידי הכפלת שני האגפים ב −π2 נקבל את הדרוש.
פתרון באמצעות אנליזה הרמונית
את הבעייה אפשר לפתור כמקרה פרטי של טור פורייה: פיתוח פונקציה מחזורית בקטע לטור של סינוסים וקוסינוסים.
תהי פונקציית הזהות בקטע . כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. נשים לב, שבהמשכה זה הפונקציה איננה רציפה ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.
נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים נופלים ורק הסינוסים נשארים (זאת מאחר והסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).
לכן,
כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:
בסך הכל, טור פורייה של x הוא
כעת נשתמש בזהות פרסבל
- .
כדי לקבל ש
נחלק ב-2 את הביטוי ונצמצם את פאי באגף הימני ונקבל
כמבוקש.