אקסיומות המנייה

אקסיומות המנייה הן הנחות המתייחסות לגודל של קבוצות מיוחדות במרחב טופולוגי, ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן בנות מנייה. מרחבים בעלי תכונות מנייה חזקות הם, במובן מסוים, קטנים יותר, ולכן קלים יותר לטיפול.

אקסיומת המנייה הראשונה קובעת שסביב כל נקודה במרחב הטופולוגי יש בסיס מקומי בן מנייה. אקסיומה זו מתקיימת, למשל, בכל מרחב מטרי.

בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, אקסיומת המנייה השנייה קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מנייה. האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי חסום כליל. מצד שני, מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה וגם את אקסיומת ההפרדה T3 הוא מטריזבילי (כלומר, הטופולוגיה שלו מושרית ממטריקה מתאימה).

בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה

כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס מקומי בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה.

אקסיומות המנייה

מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה אם לכל נקודה שלו יש בסיס מקומי בן מנייה. תכונה זו, הנקראת גם "תכונת $\ C_{I}$", מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס $\ 1/n$ סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), ולכן אפשר לראות בה תנאי ל"התנהגות מטרית" באופן מקומי. קיומו של בסיס בן מניה מאפשר לסדר את אברי הבסיס, ולבנות סדרות בעלות תכונות שונות באינדוקציה.

המרחב מקיים את אקסיומת המנייה השנייה אם יש לו בסיס בן מנייה. תכונה זו מסמנים גם ב-$\ C_{II}$.

כל מרחב $\ C_{II}$ הוא בפרט $\ C_{I}$ (כדי לקבל בסיס מקומי סביב $\,p$, מספיק לבחור את אותם אברים של הבסיס המכילים את $\,p$). מרחב מטרי חסום כליל הוא $\ C_{II}$.

לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:

• מרחב טופולוגי הוא מרחב ספרבילי, אם יש בו קבוצה צפופה בת מנייה.

כל מרחב $\ C_{II}$ הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההיפך נכון, דהיינו, כל מרחב ספרבילי הוא $\ C_{II}$.

נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: תכונת לינדלוף קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה קומפקטיות מנייתית היא הדרישה שלכל כיסוי בן מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, במרחב קומפקטי לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזה נקרא לפעמים קומפקטיות סדרתית.

מרחב $\ C_{I}$ הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית.

כל מרחב $\ C_{II}$ מקיים את תכונת לינדלוף. במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת $\ C_{II}$.

המשפט המרכזי על מרחבי $\ C_{II}$ הוא משפט המטריזציה של אוריסון, שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את תכונת ההפרדה T3, הוא מטריזבילי.

לקריאה נוספת

• דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 6 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.