מוגדר היטב – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
דף חדש: במתמטיקה, הביטוי '''מוגדר היטב''' מתאר את האופן שבו בנויה הגדרה מתמטית - העשויה להיות בנויה כראוי, ול...
 
VolkovBot (שיחה | תרומות)
מ בוט מוסיף: de, es, ja משנה: en
שורה 19: שורה 19:
[[קטגוריה:כשלים לוגיים]]
[[קטגוריה:כשלים לוגיים]]


[[en:well defined]]
[[en:Well-defined]]
[[de:Wohldefiniertheit]]
[[es:Bien definido]]
[[ja:Well-defined]]

גרסה מ־22:18, 27 בפברואר 2008

במתמטיקה, הביטוי מוגדר היטב מתאר את האופן שבו בנויה הגדרה מתמטית - העשויה להיות בנויה כראוי, ולתאר את מה שהיא מתיימרת לתאר, או להיות רק מראית-עין של הגדרה, הכתובה על-פי כללי התחביר המתמטיים, ואינה מגדירה דבר.

בדרך כלל, הגדרה מתמטית מתייחסת ישירות לעצם המוגדר, ואינה טעונה בדיקה. למשל, "במספרים השלמים, העוקב של x הוא המספר x+1": מכיוון שבמערכת המספרים השלמים ניתן לחבר, הערך של x+1 מוגדר באופן חד-משמעי. עם זאת, ישנם מצבים שבהם ההגדרה מסתמכת על טענות סמויות, שאותן יש לוודא על-מנת שההגדרה תהיה תקפה. ישנם כמה מצבים שכיחים שבהם יש להשקיע מאמץ מסויים כדי להראות שהעצם שאותו רוצים להגדיר אכן מוגדר היטב.

בחירת נציגים

גובה של מספר רציונלי הוא ". לכאורה, הוגדר כאן הגובה של כל מספר רציונלי. בפועל, מספר רציונלי איננו קובע את זוג המספרים a ו- b, משום שאפשר לצמצם ולהרחיב שברים, ולכן ההגדרה פגומה. זוהי תופעה כללית, המתרחשת כל אימת שמגדירים גודל מסויים עבור מחלקות שקילות של יחס שקילות באמצעות בחירה של נציגים. כדי להראות שהגודל מוגדר היטב, יש להוכיח שבחירת הנציגים אינה חשובה, ומתקבלת אותה תוצאה לכל נציג. למשל, כאשר מגדירים את החיבור של שברים לפי הנוסחה , יש לוודא שחיבור השברים , לפי אותה נוסחה, יחזיר את אותו מספר רציונלי.

תכונות של אובייקט

"אם G חבורה, יהי האוטומורפיזם המוגדר לפי ". לכל איבר , האיבר ההפוך קיים; אבל הנוסחה הזו עדיין אינה הופכת את לאוטומורפיזם, למרות שההגדרה טוענת שזה האובייקט שהתקבל (ואכן, אינו בהכרח אוטומורפיזם). במקרה כזה אפשר לומר " מוגדר היטב משום ש- G חבורה אבלית" (תכונת האבליות של G אכן מבטיחה שהפונקציה תהיה אוטומורפיזם).

הנחת קיום סמויה

"עבור מספר שלם n, נגדיר את המחצית השלמה של n להיות המספר השלם m המקיים " - ברור שלא תמיד קיים מספר שלם כזה, ולכן ההגדרה פגומה. כך גם "השומר של מספר שלם n הוא המספר השלם הגדול ביותר שסכום ספרותיו, ועוד מספר ספרותיו, שווה ל- n" - אמנם קיים מספר כזה, אבל טענה זו אינה כה מובנת מאליה; לכן יש לבדוק שה"שומר" הוגדר היטב.