מטריצה אורתוגונלית – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 3: שורה 3:
העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] [[אורתונורמליות|אורתונורמלי]] למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם [[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] הסטנדרטית.
העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] [[אורתונורמליות|אורתונורמלי]] למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם [[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] הסטנדרטית.


== חבורת המטריצות האורתוגונליות ==
אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל <math>\ n\times n</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F [[סגירות (אלגברה)|סגור]] ל[[כפל מטריצות|כפל]], והוא מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] [[חבורה קומפקטית|קומפקטית]] שמקובל לסמן ב- <math>\ O_n(F)</math>. ה[[דטרמיננטה]] של מטריצה אורתוגונלית היא 1 או <math>\ -1</math>.

אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל <math>\ n\times n</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F [[סגירות (אלגברה)|סגור]] ל[[כפל מטריצות|כפל]], והוא מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] [[חבורה אלגברית|אלגברית]] שמקובל לסמן ב- <math>\ O_n(F)</math>. מעל [[שדה המספרים הממשיים]], <math>\ O_n(\mathbb{R})</math> היא [[חבורה קומפקטית]].

ה[[דטרמיננטה]] של מטריצה אורתוגונלית היא 1 או <math>\ -1</math>. המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה <math>\ SO_n(F)</math> של <math> O_n(F)</math>. בשדה מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] שונה מ-2, <math>\ SO_n(F) \lefttriangle O_n(F)</math> היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). ה[[מטריצה סקלרית|מטריצות הסקלריות]] האורתוגונליות הן <math>\ \pm I</math>, ומגדירים את חבורות המנה <math>\ PO_n(F) =O_n(F)/\langle-I\rangle</math> ו- <math>\ PSO_n(F) = SO_n(F)/(\langle -I\rangle \cap SO_n(F))</math>.

המטריצה <math>\ -I</math> שייכת ל- <math>\ SO_n(F)</math> אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות <math>\ O_n, SO_n, PO_n, PSO_n</math> שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, <math>\ O_n \cong SO_n \times \langle -I \rangle</math> ו- <math>\ PO_n \cong SO_n = PSO_n</math>.


==ראו גם==
==ראו גם==

גרסה מ־23:13, 15 באפריל 2008

באלגברה לינארית, מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית המקיימת את התנאי , כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- היא המטריצה המשוחלפת של A. לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם.

העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית.

חבורת המטריצות האורתוגונליות

אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל מעל שדה F סגור לכפל, והוא מהווה חבורה אלגברית שמקובל לסמן ב- . מעל שדה המספרים הממשיים, היא חבורה קומפקטית.

הדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית היא 1 או . המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה של . בשדה ממאפיין שונה מ-2, הפענוח נכשל (פונקציה "\lefttriangle" לא מוכרת): {\displaystyle \ SO_n(F) \lefttriangle O_n(F)} היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). המטריצות הסקלריות האורתוגונליות הן , ומגדירים את חבורות המנה ו- .

המטריצה שייכת ל- אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, ו- .

ראו גם

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.