משפט האינטגרל של קושי

באנליזה מרוכבת, משפט אינטגרל קושי הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר כי אינטגרל קווי של פונקציה על מסלול סגור שווה לאפס אם הפונקציה רציפה על המסלול והולומורפית בציקלוס הומולוגי לאפס (נקרא גם תחום קושי) (ובפרט בתחום שסגור על ידי המסלול, אם תחום זה הוא פשוט קשר, כלומר אין בו "חורים"). הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.

בין התוצאות של משפט זה ניתן למנות תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות - כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור.

ניסוח פורמלי

יהא $\ U\subset \mathbb {C}$ תחום קושי כך ש-$\ \partial U$ הוא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות וכן תהי $\ f(z):{\bar {U}}\rightarrow \mathbb {C}$ פונקציה רציפה על $\ \partial U$ והולומורפית ב-$\ U$ אזי $\oint _{\partial U}f(z)\,dz=0$, כאשר הכוונה היא כי האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.

באופן תמציתי יותר: תהי $\ f$ הולומורפית ב- $\ D$ ו- $\ \Delta$ משולש המוכל עם פנימו ב- $\ D$. אז $\ \oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=0$

הוכחה

תחילה, נניח $\ \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|=S>0$

עכשיו, $\ \oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{4}\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz$

$\ \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|\leq \sum _{k=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|$

לכן $\ S\leq \sum _{k=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|$ ויש $\ 1\leq k_{0}\leq 4$ כך ש- $\ \left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|\geq {\frac {S}{4}}$

נסמן $\ \Delta _{k_{0}}^{(1)}=\Delta _{1}$. נמשיך כך ונקבל $\ \Delta _{0}\supset \Delta _{1}\supset \Delta _{2}\supset ...\supset \Delta _{n}$ , $\ \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|\geq {\frac {S}{4^{n}}}$

לפי למת קנטור, $\ \bigcap _{n=0}^{\infty }\Delta _{n}=\left\{z_{0}\right\}$.

$\ f$ הולומורפית ב- $\ z_{0}$ ולכן:

$\ f(z)=f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0})$

$\ \lim _{z\rightarrow z_{0}}\varepsilon (z)=0$

נביט באורכי המסילות: $\ l(\Delta _{0})=l\ ,\ l(\Delta _{1})={\frac {l}{2}}\ ,\ ...\ l(\Delta _{n})={\frac {l}{2^{n}}}$

עבור $\ z\in \partial \Delta _{n}$ , $\ \left|z-z_{0}\right|<l(\Delta _{n})={\frac {l}{2^{n}}}$

$\ {\frac {S}{4^{n}}}\leq \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}{\big [}f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0}){\big ]}\,dz\right|=(*)$

עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: $\ \ (zf(z_{0}))'=f(z_{0})\ ,\ \left({\frac {f'(z_{0})(z-z_{0})^{2}}{2}}\right)'=f'(z_{0})(z-z_{0})\$ ניתן לראות כי יש להם פונקציה קדומה שאנליטית בכל $\ \mathbb {C}$, בפרט ב- $\ D$ ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי משפט אינטגרל קושי. נמשיך:

$\ (*)=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\varepsilon (z)(z-z_{0})\,dz\right|$

עכשיו ניתן להוכיח כי אם $\ \gamma$ מסילה חלקה למקוטעין ו-$\ f$ רציפה על $\ \gamma$ אז $\ \left|\oint _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\cdot l(\gamma )$ כאשר $\ M=max\left|f(z)\right|$ על $\ \gamma$ ו- $\ l(\gamma )$ הוא האורך של $\ \gamma$. לכן:

$\ \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\varepsilon (z)(z-z_{0})\,dz\right|\leq max\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l}{2^{n}}}\cdot l(\Delta _{n})=max\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l^{2}}{4^{n}}}$

מכאן נובע: $\ {\frac {S}{4^{n}}}\leq max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l^{2}}{4^{n}}}$

$\ S\leq \ max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot l^{2}$

אבל $\ \lim _{n\rightarrow \infty }\left(max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot l^{2}\right)=0$ וזו סתירה להנחה, כלומר $\ S=0$ ולכן $\ \oint _{T}f(z)\,dz=0$.