סגור (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט מוסיף: ar:غالق (طوبولوجيا) |
|||
שורה 11: | שורה 11: | ||
* הגדרה באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C</math>. |
* הגדרה באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C</math>. |
||
חפירות של מספרים במוח!!@!! |
|||
==דוגמאות== |
|||
* הסגור של [[קטע פתוח|הקטע הפתוח]] <math> \ (a,b) </math> הוא הקטע הסגור <math> \ [a,b] </math>. |
|||
* הסגור של [[מספר רציונלי|קבוצת המספרים הרציונלים]] <math> \mathbb{Q}</math> הוא הישר הממשי כולו <math> \mathbb{R}</math>. |
|||
==תכונות הנוגעות לסגור== |
==תכונות הנוגעות לסגור== |
גרסה מ־18:24, 30 באוקטובר 2008
בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
הגדרה פורמלית
יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות , אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי:
- .
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
- היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
- , כאשר היא קבוצת כל נקודות ההצטברות של .
- הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .
חפירות של מספרים במוח!!@!!
תכונות הנוגעות לסגור
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
- .
- .
- .
- היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
- אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.