פונקציית גמא – הבדלי גרסאות
מ בוט מוסיף: uk:Гамма-функція |
הוספת ניקוד |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
'''פונקציית גמא''' היא [[פונקציה]] [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]] [[פונקציה מרומורפית| |
'''פונקציית גמא''' היא [[פונקציה]] [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]] [[פונקציה מרומורפית|מֶרוֹמורפית]], המרחיבה את מושג ה"[[עצרת]]" לכל [[המישור המרוכב]], תוך שמירה על כך שלכל מספר טבעי <math>\ n=1,2,\dots</math>, הפונקציה מקבלת את הערך <math>\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>. |
||
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי [[לאונרד אוילר]] באמצע המאה ה-18, אך הסימון של ה[[פונקציה]] באות <math>\ \Gamma</math> נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של [[לז'נדר]]. [[גאוס]] הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, <math>\ \Pi(z) = \Gamma(z+1)</math>, לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף ב[[צרפת]], ובעקבות זאת גם בשאר העולם. |
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי [[לאונרד אוילר]] באמצע המאה ה-18, אך הסימון של ה[[פונקציה]] באות <math>\ \Gamma</math> נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של [[לז'נדר]]. [[גאוס]] הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, <math>\ \Pi(z) = \Gamma(z+1)</math>, לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף ב[[צרפת]], ובעקבות זאת גם בשאר העולם. |
גרסה מ־19:58, 30 בנובמבר 2008
פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֶרוֹמורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב, תוך שמירה על כך שלכל מספר טבעי , הפונקציה מקבלת את הערך .
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר. גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, , לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל .
לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות בלבד, ואין לה שורשים. הפונקצייה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית , המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.
הגדרה
פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:
וזאת לכל המקיים . פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול , המוגדר היטב לכל . משום כך, הפונקציה השניה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.
תכונות
הקשר לפונקציית עצרת
ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה לפונקציית העצרת.
אם הוא חיובי ושלם, אזי , כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי , ומאחר ש- נקבל כי לכל מספר טבעי .
זהויות אחרות
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: .
מכאן נובע כי , ולכן .
זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:
לפונקציית גמא יש קוטב ב לכל טבעי. בנקודה זאת נתון גם ש:
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:
כאשר הוא "קבוע אוילר".
משפט בוהר-מולרופ
משפט בוהר-מולרופ (Bohr–Mollerup theorem) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהן מולרופ שהוכיחו אותו.
- משפט: פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל על ידי היא הפונקציה היחידה בקרן המקיימת:
אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציית גמא באתר Wolfram mathworld
- מחשבון לפונקציית גמא