בסיס (אלגברה)

באלגברה לינארית, קבוצה של וקטורים במרחב וקטורי נקראת בסיס אם אפשר להציג כל איבר של המרחב כצירוף לינארי של הווקטורים שלה, באופן יחיד. לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ולכל שני בסיסים של מרחב וקטורי יש אותו גודל, הנקרא ממד. לבסיסים חשיבות עקרונית באלגברה לינארית, בכך שבסיס קובע לכל וקטור, וקטור קואורדינטות. לפיכך, בחירה של בסיס מאפשרת 'לממש' עצמים מופשטים המתייחסים למרחב (כגון העתקה לינארית) על ידי מבנים קונקרטיים (כגון מטריצה).

אפשר לאפיין בסיס כקבוצה פורשת מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת; או, באופן שקול, כקבוצה בלתי תלויה מקסימלית, כלומר כזו שאם יוסיפו לה ולו וקטור אחד היא תפסיק להיות בלתי תלויה.

בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על הלמה של צורן, וממילא תוצאה זו דורשת את אקסיומת הבחירה.

נהוג לכנות בסיס אלגברי גם בשם בסיס המל, בעיקר בהקשר של מרחב מממד אינסופי (ולעתים אף לא בר מנייה).

במרחבים נורמיים יש משמעות להתכנסות של טור, ואז אפשר להגדיר 'בסיס טופולוגי': זוהי קבוצת איברים שאפשר להציג כל וקטור במרחב באופן יחיד כצירוף לינארי (לאו דווקא סופי) של איבריה. בסיס טופולוגי בדרך כלל אינו בסיס במובן הרגיל (משום שהוא אינו פורש במובן הסופי), ובסיס בדרך כלל אינו מהווה בסיס טופולוגי (משום שנוצרות בו תלויות לינאריות במובן של טורים).

משפטים מרכזיים

התוצאה היסודית על בסיסים היא צמד המאפיינים שצוטטו בפתיחה. כדי לפתח את הנושא ללא הנחות מוקדמות, יש להוכיח כצעד ראשון שאם B קבוצה בלתי תלויה מקסימלית ו- C קבוצה פורשת מינימלית, אז $\ |C|\leq |B|$ (למשל באינדוקציה על גודל החיתוך של $B,C$ ושימוש בלמת ההחלפה של שטייניץ). לאחר מכן אפשר להוכיח שאם D גם היא קבוצה בלתי תלויה, אז $\ |D|\leq |B|$. מכאן נובע מיד שלכל שתי קבוצות בלתי-תלויות מקסימליות יש אותו גודל. מכאן אפשר להמשיך כך:

משפט. התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A של וקטורים:

• הקבוצה בלתי-תלויה מקסימלית.
• הקבוצה פורשת מינימלית.
• הקבוצה פורשת ובלתי תלויה.

משפט. נניח שלמרחב V יש בסיס בגודל n. אז התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A:

• A בלתי תלויה מקסימלית.
• A פורשת מינימלית.
• A בסיס.
• A בלתי תלויה וגודלה $\ n\leq$.
• A בלתי תלויה וגודלה $\ n=$.
• A פורשת וגודלה $\ n\geq$.
• A פורשת וגודלה $\ n=$.

כאשר n סופי אומרים של-V יש ממד n, ולפי המשפט n יחיד.

תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס (ובאופן דואלי, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס).

טענה. העמודות והשורות של מטריצה ריבועית מסדר $\ n\times n$ מעל שדה $\mathbb {F}$ מהוות בסיס למרחב $\ \mathbb {F} ^{n}$ אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

מסקנה. עבור מרחב וקטורי מממד סופי n, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של n וקטורים היא בסיס.

דוגמה

הבסיס הסטנדרטי

ישנם מרחבים שהמבנה המיוחד שלהם מאפשר לבנות להם בסיס באופן פשוט ונוח; בסיסים כאלה נקראים בסיסים סטנדרטיים.

• הבסיס הסטנדרטי של מרחב וקטורי $\ F^{n}$ כולל את וקטורי היחידה

$\ e_{1}=(1,0,\dots ,0),e_{2}=(0,1,\dots ,0),\dots ,e_{n}=(0,0,\dots ,1)$. הקבוצה פורשת ובלתי תלויה, מכיוון שההצגה (היחידה) של כל וקטור $\ a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in F^{n}$ היא על ידי הצירוף $\ \sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}=a$.

• הבסיס הסטנדרטי של מרחב המטריצות $\ M_{n}(F)$ מורכב מ"מטריצות יחידה", שהן המטריצות $\ e_{ij}$ עם אפס בכל רכיב, פרט ל- 1 במקום ה- (i,j).

דוגמאות מספריות

• במרחב $\mathbb {R} ^{2}$ הבסיס הסטנדרטי הוא { (1,0) , (0,1) } .
• במרחב $\mathbb {R} ^{2}$ הקבוצה { (1,1) , (1, 1-) } היא בסיס.
• במרחב $\mathbb {R} ^{2}$ הקבוצה { (2,3) ,(1,1) , (1, 1-) } איננה בסיס, זאת מאחר שכל ווקטור בה תלוי לינארית בשנייים האחרים. למעשה, כל קבוצה של 3 ווקטורים ב $\mathbb {R} ^{2}$ תהייה תלויה לינארית, וזו בעצם משמעותה של הטענה כי $\mathbb {R} ^{2}$ הוא מרחב מממד 2.
• בכל מרחב וקטורי, כל קבוצה המכילה את ווקטור האפס אינה יכולה להיות בסיס, כי וקטור האפס תמיד ניתן לייצוג כצירוף לינארי (כשכל המקדמים הם 0) של כל קבוצה של וקטורים.
• במרחב הילברט $\ L_{2}[-\pi ,\pi ]$ קבוצת הפונקציות $\left\{{\hat {e_{n}}}={\frac {e^{inx}}{\sqrt {2\pi }}}\right\}_{n=-\infty }^{\infty }$ מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שכן $\ \langle {\hat {e_{n}}},{\hat {e_{m}}}\rangle =\delta _{m,n}$. להרחבה, ראו: טור פורייה.

ראו גם

• קואורדינטות (אלגברה)
• בסיס אורתונורמלי
• טור פורייה

---