תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות
מ ←תכונות |
SilvonenBot (שיחה | תרומות) מ בוט מוסיף: fi:Derivaattaryhmä |
||
שורה 36: | שורה 36: | ||
[[de:Kommutatorgruppe]] |
[[de:Kommutatorgruppe]] |
||
[[es:Subgrupo conmutador]] |
[[es:Subgrupo conmutador]] |
||
[[fi:Derivaattaryhmä]] |
|||
[[fr:Groupe dérivé]] |
[[fr:Groupe dérivé]] |
||
[[pl:Komutant]] |
[[pl:Komutant]] |
גרסה מ־21:09, 15 בינואר 2009
במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים של חבורה היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של אברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.
הגדרה
הקומוטטור של שני אברים g,h בחבורה G הוא, לפי ההגדרה, האיבר . תת-חבורת הקומוטטורים של היא החבורה הנוצרת על ידי כל האברים האלה, כלומר, .
את החבורה המתקבלת מסמנים , או . הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם תת-חבורות נורמליות של G, אז היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים עבור ; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B.
כעת אפשר להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: , ולכל n,
.
אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון
נקראת חבורה מושלמת.
לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, , בעוד ש- מושלמת לכל (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
תכונות
תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה היא אבלית: לכל תת-חבורה נורמלית של , המנה אבלית אם ורק אם . חבורת המנה נקראת האבליזציה של .
מכיוון שהומומורפיזם מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה . עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- ובפרט .
ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה , אם כי בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה.
תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות של , מתקיים .
השערת Ore
בחבורה פשוטה שאינה קומוטטיבית, כל איבר שייך לתת-חבורת הקומוטטורים, ולכן הוא מכפלה של קומוטטורים. המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורה מטיפוס לי , עבור , ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.
ראו גם
אלגברה מופשטת | ||
---|---|---|
ענפים | אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות | |
מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית | |
מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית |