הומומורפיזם

באלגברה, הומומורפיזם הוא פונקציה בין מבנים אלגבריים מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים).

• הומומורפיזם שהוא חד-חד ערכי נקרא מונומורפיזם.
• הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם.
• הומומורפיזם שהוא חד-חד ערכי ועל נקרא איזומורפיזם.
• הומומורפיזם שהוא מהמבנה אל עצמו נקרא אנדומורפיזם.
• איזומורפיזם שהוא מהמבנה על עצמו נקרא אוטומורפיזם.

הומומורפיזם שהוא חד-חד ערכי ועל נקרא איזומורפיזם ובמובן מסוים הוא יחס שקילות בין שני מבנים אלגברים. כלומר, אם שני מבנים אלגברים הם איזומורפיים זה לזה (כלומר: קיים איזומורפיזם ביניהם) אז אפשר לומר שהם בעצם אותו מבנה - עד כדי מתן שמות או תוויות שונות לאיברים שבו. מבנים אלגברים שזהים עד כדי איזומורפיזם הם זהים למעשה כמעט בכל מובן שהוא ומתכונות של מבנה אחד אפשר להקיש על תכונותיו של המבנה האחר.

הומומורפיזם בין חבורות

הגדרה פורמלית

יהיו $\,\!G,G'$ שתי חבורות. פונקציה $\,\!\varphi :G\rightarrow G'$ תיקרא הומומורפיזם אם לכל $\,\!g_{1},g_{2}\in G$ מתקיים $\,\!\varphi (g_{1}\cdot g_{2})=\varphi (g_{1})\cdot \varphi (g_{2})$. נשים לב כי הכפל באגף שמאל של המשוואה הוא בחבורה $\,\!G$ ואילו הכפל בצד ימין של המשוואה הוא בחבורה $\,\!G'$.

לאיזומורפיזמים חשיבות רבה. אם יש איזומורפיזם בין שתי חבורות, פירוש הדבר הוא שהן זהות לחלוטין, עד כדי החלפת שמות האיברים בחבורה, בכל האספקטים הנוגעים למבנה החבורה.

תמונה וגרעין

בהינתן הומומורפיזם, התמונה שלו תוגדר בתור הקבוצה שמתקבלת מהפעלת ההומומורפיזם על כל אברי התחום.

בצורה פורמלית: $\,\!\operatorname {Im} \varphi =\left\{\varphi (g)|g\in G\right\}$. נשים לב כי $\,\!\operatorname {Im} \varphi \subseteq G'$.

בהינתן הומומורפיזם, הגרעין שלו יוגדר בתור הקבוצה של כל האיברים בתחום שלו שעוברים לאיבר היחידה של חבורת הטווח.

בצורה פורמלית: $\,\!\ker \varphi =\left\{g\in G|\varphi (g)=e'\right\}$. נשים לב כי $\,\!\ker \varphi \subseteq G$.

הגרעין "מודד" את מידת החד-חד ערכיות של הומומורפיזם. הומומורפיזם שהאיבר היחיד בגרעין שלו הוא איבר היחידה הוא חד-חד ערכי.

משפטים העוסקים בהומומורפיזמים

משפטי האיזומורפיזם מראים את קיומם של איזומורפיזמים בין מקרים מיוחדים של מבנים אלגבריים.

הומומורפיזם בין מרחבים לינאריים

טרנספורמציה לינארית בין שני מרחבים לינאריים היא הומומורפיזם שכן היא שומרת על תכונת הלינאריות. אם הטרנספורמציה הלינארית היא חח"ע ועל אזי היא נקראת איזומורפיזם בין שני המרחבים. כלומר, שני המרחבים זהים עד כדי שינוי שם האיברים (או שינוי שמות איברי הבסיס).

עבור מרחבים נוצרים סופית, קיימת התוצאה החשובה הבאה:

משפט: יהי V מרחב וקטורי נוצר סופית מממד n מעל שדה F. אזי V איזומורפי למרחב Fⁿ (מרחב וקטורי העמודה בגודל n שרכיביהם הם איברי השדה F).

הומומורפיזם בין חוגים

כאשר R ו- S חוגים (עם יחידה), הומומורפיזם הוא פונקציה $\ f:R\rightarrow S$ השומרת על החיבור והכפל (כלומר, מקיימת $\ f(a+b)=f(a)+f(b)$ ו- $\ f(ab)=f(a)f(b)$ לכל a ו-b), ומעבירה את איבר היחידה (של R) לאיבר היחידה (של S). תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא תחום שלמות, או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.