הצגה ליניארית

בתורת החבורות, הצגה לינארית היא הצגה של חבורה נתונה כחבורת מטריצות (או, באופן כללי יותר, כחבורה של העתקות הפיכות של מרחב הילברט), באמצעות הומומורפיזם מן החבורה לחבורת ההעתקות הלינאריות של מרחב וקטורי מעל שדה כלשהו. את תורת ההצגות, העוסקת בהצגות לינאריות, פיתח פרדיננד גאורג פרובניוס בסוף המאה ה-19, והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה.

חבורה שיש לה הצגה נאמנה (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הלינאריות אינה מאבדת מידע) נקראת חבורה לינארית.

שקילות של הצגות והצגות אי-פריקות

באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם $\ G\rightarrow \operatorname {GL} (V)$, כאשר G היא החבורה הנתונה, V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- $\ \operatorname {GL} (V)$ היא חבורת ההעתקות הלינאריות ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מממד סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם חבורת המטריצות ההפיכות $\ \operatorname {GL} _{n}(F)$. במקרה זה n נקרא ממד ההצגה.

מהצגה נתונה אפשר ליצור הצגות שקולות, על ידי הצמדה בהעתקה לינארית קבועה; דהיינו, אם $\ \pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ היא הומומורפיזם ו- A העקתה הפיכה, אז גם הפונקציה $\ g\mapsto A\pi (g)A^{-1}$ היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.

כאשר נתונות שתי הצגות, על מרחבים V ו- W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על הסכום הישר $\ V\oplus W$, בדרך של בניית מטריצות בלוקים: $\ g\mapsto \left({\begin{array}{cc}\pi _{1}(g)&0\\0&\pi _{2}(g)\end{array}}\right)$. הצגה כזו, וכל הצגה שקולה לה, נקראת הצגה פריקה. הצגה שלא ניתן לפרק (על ידי הצמדה) באופן כזה, נקראת הצגה אי-פריקה. כל ההצגות האי-פריקות של חבורה אבלית סופית הן חד-ממדיות.

במקרים רבים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה.

הקרקטר של הצגה מממד סופי

אם $\ \pi :G\rightarrow \operatorname {GL} _{n}(F)$ היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה $\ \chi (g)=\operatorname {tr} (\pi (g))$ המוגדרת לפי חישוב העקבה של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא הקרקטר של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של הצגה חד-ממדית שווה להצגה עצמה.

בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם בחבורה קומפקטית), גם ההיפך נכון: מן הקרקטר של הצגה, אפשר לשחזר את ההצגה כולה (עד כדי שקילות).

באופן דומה, אם g,h הם שני אברים צמודים בחבורה, דהיינו $\ h=xgx^{-1}$ עבור איבר x מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של מחלקות הצמידות בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה.

הצגות של חבורה סופית

כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית, ידוע שיש לה רק מספר סופי של הצגות (עד כדי שקילות); מספר ההצגות שווה למספר מחלקות הצמידות של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת טבלת הקרקטרים של החבורה.

הממד של כל הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה. יתרה מזו, לפי משפט איטו, אם A תת-חבורה אבלית נורמלית, אז הממד של הצגה אי-פריקה מחלק את האינדקס $\ [G:A]$. סכום ריבועי הממדים של ההצגות האי-פריקות שווה לסדר החבורה.

הצגות ואלגברת החבורה

יש התאמה חד-חד-ערכית בין הצגות של החבורה G על מרחבים וקטוריים מעל לשדה F, לבין הצגות של אלגברת החבורה $\ F[G]$, שהן הומומורפיזמים של אלגברות, מאלגברת החבורה לאלגברה $\ \operatorname {End} (V)$ של העתקות לינאריות של מרחב וקטורי V מעל השדה. כל הצגה כזו הופכת את V למודול מעל אלגברת החבורה (ולהיפך).

לפי משפט משקה, אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר למאפיין של F, אז אלגברת החבורה היא פשוטה למחצה, והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.