הבדלים בין גרסאות בדף "איזומורפיזם"

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
נוספו 3 בתים ,  לפני 11 שנים
מ
מ (בוט מוסיף: zh:同构)
אם <math>\ A</math> ו<math>\ B</math> הן שתי [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], וקיימת [[פונקציה חד-חד ערכית ועל]] <math>\ f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\ \alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta)</math>, אז<math>\ A</math> ו<math>\ B</math> איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים <math>\ f(\alpha),f(\beta)\in B</math> פשוט כ <math>\ \alpha,\beta</math>. לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד.
אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים [[יחס שקילות]]:
* רפלקסיביות, - ניקח חבורה <math>\ A</math> ונגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f: A \mapsto A</math> כך שעבור כל איבר <math>\ \alpha \in A</math> מתקיים <math>\ f(\alpha ) = \alpha</math>. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן <math>\ A \cong A</math>.
* סימטריות, - עבור צמד חבורות איזומורפיות, <math>\ A</math> ו<math>\ B</math>, כשפונקציית האיזומורפיזם ביניהן היא <math>\ f: A \mapsto B</math>. נגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>\ f^{-1}: B \mapsto A</math> כך שעבור כל איבר <math>\ \alpha \in A</math> מתקיים <math>\ f^{-1}(f(\alpha) ) = \alpha</math>. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן גם <math>\ B \cong A</math>.
* טרנזיטיביות, - אם עבור שלוש החבורות <math>\ A,B</math> ו<math>\ C</math>, קיימות פונקציות <math>\ f_{A\rightarrow B}: A \mapsto B</math> ו <math>\ f_{B\rightarrow C}: B \mapsto C</math> שמקיימות את תנאי האיזומורפיזם, אז אפשר להגדיר פונקציה שלישית <math>\ f_{A\rightarrow C}: A \mapsto C</math> כך שעבור כל איבר <math>\ \alpha \in A</math> מתקיים <math>\ f_{A\rightarrow C}(\alpha ) = f_{B\rightarrow C}(f_{A\rightarrow B}(\alpha ) )</math>. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן <math>\ A \cong C</math>.
====דוגמאות לאיזומורפיזם של חבורות====
* החבורה <math>\ A \equiv \{ 1,-1,i,-i\} </math> תחת פעולת הכפל, היא איזומורפית לחבורה <math>\ B\equiv \{ 0,1,2,3\}</math> תחת פעולת החיבור מודולו 4. פונקציית האיזומורפיזם היא <math>\ f(0) = 1 , f(1)=i, f(2)=-1, f(3)=-i</math>.
227

עריכות

תפריט ניווט