לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "הבעיה השלישית של הילברט"

מ
מ
מ (←‏פתרונה: הגהה)
== פתרונה ==
 
הבעיה השלישית של הילברט נפתרה כמעט מיד על ידי [[מקס דהן]] (Max Dehn), יהודי, שנולד ב[[המבורג]] בשנת [[1878]]. דהן סיים את עבודת הדוקטורט שלו ב[[אוניברסיטת גטינגן]] ב- 1900, וכך נחשף לנושאים שהעסיקו את הילברט הגדול מיד ראשונה.
 
הפתרון של דהן מבוסס על אבחנה פשוטה ורבת עוצמה, ששימשה אותו גם בעבודתו בתחומים מתמטיים אחרים: הצמדת [[שמורה (מתמטיקה)|שמורה]] (אינווריאנט) לכל פאון, שלא תושפע מן הפירוק למרכיבים. לכל צלע בפאון יש שני מאפיינים מספריים: אורך הצלע, והזווית בין שתי הפאות הנפגשות באותה צלע. נניח שאפשר למצוא פונקציה f של שני ערכים אלה, שתקיים את השוויונות <math>\ f(x,\alpha)+f(y,\alpha)=f(x+y,\alpha)</math> ו- <math>\ f(x,\alpha)+f(x,\pi-\alpha)=0</math>. אם נגדיר את ה'משקל' של פאון להיות הסכום של ערכי f במעבר על כל צלעות הפאון, התכונות של f יבטיחו שבכל פירוק של הפאון למספר מרכיבים, סכום המשקלים של המרכיבים יהיה שווה למשקלו של הפאון המקורי. מכאן נובע מיד ששני פאונים בעלי משקל שונה לא ניתן לפרק למרכיבים חופפים בזוגות.