מרחב מכפלה

בטופולוגיה, מרחב מכפלה הוא מרחב טופולוגי שהתקבל ממרחבים קיימים על ידי מכפלה קרטזית שלהם. על מרחב המכפלה ניתן להגדיר מספר סוגים שונים של טופולוגיות, והמקובלת ביותר היא הטופולוגיה המכונה "טופולוגיית המכפלה".

הגדרה פורמלית

תהיה $\left\{X_{n}\right\}_{n\in \Lambda }$ משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם

$X=\prod _{n\in \Lambda }X_{n}$.

עבור כל קוארדינטה $\!\,n$ קיימת פונקצית ההטלה $\!\,p_{n}:X\rightarrow X_{n}$ שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה $\!\,n$ שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן פונקציות רציפות.

ניתן לאפיין בקלות יחסית את תת הבסיס של טופולוגיה זו: תת-הבסיס מורכב ממכפלה קרטזית של קבוצה פתוחה $\ V_{N}\subset X_{N}$ בשאר המרחבים, כלומר: $\ U_{N}=V_{N}\times \prod _{n\neq N}X_{n}$. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל ע"י לקיחת כל החיתוכים הסופיים של קבוצות גליליות.