פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֶרוֹמורפית , המרחיבה את מושג ה"עצרת " לכל המישור המרוכב : לכל מספר טבעי
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle \ n=1,2,\dots }
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \ \Gamma (n)=(n-1)!}
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות
Γ
{\displaystyle \ \Gamma }
לז'נדר . גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא,
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle \ \Pi (z)=\Gamma (z+1)}
צרפת , ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}
לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle \,z=0,-1,-2,\dots }
משוואה הפונקציונלית
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \ \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
הגדרה פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}
וזאת לכל
z
∈
C
{\displaystyle \ z\in \mathbb {C} }
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle \,Re(z)>0}
גבול
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
1
⋅
2
⋯
n
z
⋅
(
z
+
1
)
⋯
(
z
+
n
−
1
)
(
n
+
1
)
z
−
1
{\displaystyle \ \Gamma (z)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1\cdot 2\cdots n}{z\cdot (z+1)\cdots (z+n-1)}}(n+1)^{z-1}}
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle \ z\neq 0,-1,-2,\dots }
המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית .
תכונות הקשר לפונקציית עצרת גרף של פונקציית גמא על הישר הממשי ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים , פונקציית גמא שווה לפונקציית העצרת .
אם
n
{\displaystyle \,n}
Γ
(
n
)
=
∫
0
∞
t
n
−
1
e
−
t
d
t
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=\int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-t}\,dt=(n-1)!}
אינטגרציה בחלקים , אפשר להראות כי
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle \,\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \,\Gamma (1)=1}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
…
=
n
!
Γ
(
1
)
=
n
!
{\displaystyle \,\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=\ldots =n!\Gamma (1)=n!\,}
מספר טבעי
n
{\displaystyle \,n}
זהויות אחרות זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף :
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
π
z
{\displaystyle \ \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}}
מכאן נובע כי
Γ
(
1
2
)
2
=
π
sin
π
/
2
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\pi \over \sin \pi /2}=\pi }
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס :
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
k
)
Γ
(
z
+
2
k
)
⋯
Γ
(
z
+
k
−
1
k
)
=
(
2
π
)
(
k
−
1
)
/
2
k
1
/
2
−
k
z
Γ
(
k
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{(k-1)/2}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz)\,\!}
גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב. לפונקציית גמא יש קוטב ב
z
=
−
n
{\displaystyle \,z=-n}
n
{\displaystyle \,n}
Res
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
.
{\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס , נכונה לכל
z
{\displaystyle \,z}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}
כאשר
γ
{\displaystyle \,\gamma }
קבוע אוילר ".
משפט בוהר-מולרופ משפט בוהר-מולרופ (Bohr–Mollerup theorem ) הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא. המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ שהוכיחו אותו.
משפט : פונקציית גמא הממשית המוגדרת לכל
x
>
0
{\displaystyle \,x>0}
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}
f
{\displaystyle \,f}
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
f
(
1
)
=
1
{\displaystyle \,f(1)=1}
f
(
x
+
1
)
=
x
f
(
x
)
for
x
>
0
{\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\mbox{for}}\ x>0}
f
{\displaystyle \,f}
פונקציה לוג-קמורה אחת ההוכחות לנוסחת סטירלינג משתמשת במשפט זה. במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.
ראו גם קישורים חיצוניים 
