עקביות (לוגיקה) – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Yonidebot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: דוגמה;
מאין תקציר עריכה
שורה 4: שורה 4:
כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שמקיים את כל ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח '''עקביות יחסית''' - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור [[גאומטריה|גאומטריות]] שונות (למשל, שתי הגרסאות ה[[גאומטריה לא אוקלידית|לא אוקלידיות]] של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות ל[[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]].
כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שמקיים את כל ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח '''עקביות יחסית''' - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור [[גאומטריה|גאומטריות]] שונות (למשל, שתי הגרסאות ה[[גאומטריה לא אוקלידית|לא אוקלידיות]] של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות ל[[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]].


לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל (משפט השלמות של גדל 1930). עם זאת, ישנן מודלים שבמסגרתם לא ניתן להראות עקביות. דוגמה לכך היא [[תורת המספרים]] (המילה "תורה" כאן שונה במשמעותה מתורה של לוגיקה מתמטית והכוונה היא למודל ולא למערכת אקסיומות). כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. [[משפטי אי השלמות של גדל|משפט אי השלמות השני של גדל]] קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה [[אריתמטיקה|אריתמטית]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.
לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל (משפט השלמות של גדל 1930). עם זאת, ישנן מודלים שבמסגרתם לא ניתן להראות עקביות. דוגמה לכך היא [[תורת המספרים]] (המילה "תורה" כאן שונה במשמעותה מתורה של לוגיקה מתמטית והכוונה היא למודל ולא למערכת אקסיומות). כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. [[משפט האי שלמות השני]] של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה [[אריתמטיקה|אריתמטית]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.


== ראו גם ==
== ראו גם ==

גרסה מ־08:39, 17 בנובמבר 2009

בלוגיקה ובמתמטיקה, עקביות (או קונסיסטנטיות, קוהרנטיות) של מערכת מסוימת פירושה שמערכת זו היא נטולת סתירות. בלוגיקה מתמטית, תורה עקבית היא כזו שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה ראויה.

כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא מודל שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח עקביות יחסית - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור גאומטריות שונות (למשל, שתי הגרסאות הלא אוקלידיות של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות לתורת הקבוצות.

לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל (משפט השלמות של גדל 1930). עם זאת, ישנן מודלים שבמסגרתם לא ניתן להראות עקביות. דוגמה לכך היא תורת המספרים (המילה "תורה" כאן שונה במשמעותה מתורה של לוגיקה מתמטית והכוונה היא למודל ולא למערכת אקסיומות). כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. משפט האי שלמות השני של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה אריתמטית אפקטיבית (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.

ראו גם