קוטב (אנליזה מרוכבת)

באנליזה מרוכבת, קוטב של פונקציה מרוכבת הוא נקודת סינגולריות של הפונקציה, כלומר נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת היטב. אם הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר היא מקבלת ערכים המתקרבים לנקודה, אז נקודה זו היא קוטב.

הגדרה פורמלית

נקודה $\ z_{0}$ היא קוטב של פונקציה מרוכבת $\ f(z)$, אם

1. הפונקציה אנליטית בסביבה מנוקבת של הנקודה, אבל לא מוגדרת או אינה אנליטית בנקודה עצמה (זהו קוטב מבודד); או
2. $\ z_{0}$ היא נקודת הצטברות של קטבים, כלומר ישנה סדרת קטבים $\ z_{n}$ המתכנסת ל- $\ z_{0}$.

במקרה הראשון: אם הגבול $\ \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)$ קיים, זהו קוטב ניתן להסרה או 'קוטב מסדר 0'. המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול $\ \lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})^{n}f(z)$ קיים (וסופי), נקרא הסדר של הקוטב - ובלבד שמספר כזה קיים. אם לא קיים כזה n, הקוטב נקרא קוטב עיקרי.

במקרה השני הקוטב תמיד נקרא 'קוטב עיקרי'.

קוטב מסדר 1 נקרא קוטב פשוט.

תכונות של קטבים

הפונקציה ניתנת לפיתוח לטור לורן סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית $\ (z-z_{0})^{-n}$. כלומר, $\ f(z)=\sum _{k=-n}^{\infty }c_{k}\cdot (z-z_{0})^{k}$.

הגבול $\ \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)\cdot (z-z_{0})^{k}=L$, עבור $\ k\in \mathbb {Z}$ מקבל את הערכים הבאים:

1. $\ L=\infty$ אם $\ k<n$.
2. $\ L=c_{-n}$ אם $\ k=n$.
3. $\ L=0$ אם $\ k>n$.

דוגמאות

1. לפונקציה $\ f(z)={\frac {1}{z^{n}}}$ קיים קוטב מסדר $\ n$ בנקודה $\ z=0$.
2. לפונקציה $\ f(z)={\frac {1}{1-\cos z}}$ קיים קוטב מסדר $\ 2$ בנקודה $\ z=0$. כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של $\ \cos z$ הוא: $\ \cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots$, ולכן $\ f(z)={\frac {1}{1-\cos z}}={\frac {1}{1-(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots )}}={\frac {1}{z^{2}({\frac {1}{2!}}-{\frac {z^{2}}{4!}}+\dots )}}$.
3. לפונקציה $\ f(z)=e^{1/z}$ יש קוטב עיקרי בנקודה $\ z=0$.

כשמרכיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל הקומפקטיפיקציה של המישור המרוכב (כלומר, אל ה'נקודה' שבאינסוף), הנקודה $\ z=\infty$ נחשבת לקוטב של $\ f(z)$ מאותו סוג וסדר של הקוטב $\ z=0$ בפונקציה $\ f(1/z)$.