כלל השרשרת – הבדלי גרסאות
מה זה פשקזצ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
הוספת דוגמא לשימוש |
||
שורה 26: | שורה 26: | ||
===כלל השרשרת בנוגע לפונקציות מרובות משתנים=== |
===כלל השרשרת בנוגע לפונקציות מרובות משתנים=== |
||
<math>\ \frac{\partial f\left(x(t),y(t) \right)}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}</math> |
<math>\ \frac{\partial f\left(x(t),y(t) \right)}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}</math> |
||
==דוגמא לשימוש בכלל== |
|||
נרצה לגזור את הפונקציה ''h''(''x'') = (''x''<sup>2</sup> + 1)<sup>3</sup>. |
|||
נשים לב כי <math>\ h(x) = f(g(x))</math> עם <math>\ g(x) = 1+x^2</math> ו- |
|||
<math>\ f(x) = x^3</math> ולכן מכלל השרשרת: |
|||
<math>\ h'(x) = f'(g(x))g'(x)</math> |
|||
<math>\ f'(g(x)) = 3(1+x^2)^2</math> |
|||
<math>\ g'(x) = 2x</math> |
|||
וע"י הצבה נקבל: |
|||
<math> |
|||
\ h'(x)=3(1+x^2)^2*2x |
|||
</math> |
|||
{{אנליזה מתמטית}} |
{{אנליזה מתמטית}} |
||
שורה 48: | שורה 67: | ||
[[ko:연쇄법칙]] |
[[ko:연쇄법칙]] |
||
[[nl:Kettingregel]] |
[[nl:Kettingregel]] |
||
[[pl:Reguła |
[[pl:Reguła łańc\end{align}uchowa]] |
||
[[pt:Regra da cadeia]] |
[[pt:Regra da cadeia]] |
||
[[ru:Дифференцирование сложной функции]] |
[[ru:Дифференцирование сложной функции]] |
גרסה מ־16:23, 2 ביולי 2010
בחשבון אינפיניטסימלי, כלל השרשרת הוא כלל המאפשר למצוא את הנגזרת של פונקציה שמורכבת ממספר פונקציות אחרות.
ניסוח פורמלי
המקרה הפרטי של פונקציות סקלריות
הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.
תהיינה פונקציות, כך שתחום ההגדרה של מקיים שהטווח של חלקי לו, וכך ששתיהן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. אז גם הפונקציה המורכבת גזירה בתחום ההגדרה שלה, ומתקיים .
כלומר, הנגזרת של בנקודה כלשהי היא פשוט מכפלת הנגזרות של , כאשר מחושבת בנקודה, ואילו מחושבת בתמונת הנקודה על פי .
סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון : ניתן לכתוב . כלומר, לכאורה "מצמצמים" דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).
מקרה כללי של פונקציות ממשיות
בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת בעצם אומר שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת היא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה. זאת תחת דרישת הדיפרנציאביליות.
אם הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה והפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה , אז:
כאשר פירושו הדיפרנציאל בנקודה .
כלל השרשרת בנוגע לפונקציות מרובות משתנים
דוגמא לשימוש בכלל
נרצה לגזור את הפונקציה h(x) = (x2 + 1)3.
נשים לב כי עם ו- ולכן מכלל השרשרת:
וע"י הצבה נקבל:
תבנית:נ [[pl:Reguła łańc\end{align}uchowa]]