קטע (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ArthurBot (שיחה | תרומות)
מ בוט מוסיף: simple:Interval (mathematics)
מ קישורים פנימיים
שורה 1: שורה 1:
ב[[גאומטריה]], '''קטע''' הוא קבוצת כל הנקודות על ישר אשר נמצאות בין שתי נקודות שונות (הנקראות קצות הקטע או נקודות הקצה של הקטע), לרבות נקודות הקצה ('''קטע סגור'''), למעט שתי נקודות הקצה ('''קטע פתוח''') או לרבות נקודת קצה אחת ולמעט השנייה (קטע סגור למחצה, או פתוח למחצה).
ב[[גאומטריה]], '''קטע''' הוא קבוצת כל הנקודות על [[ישר]] אשר נמצאות בין שתי נקודות שונות (הנקראות קצות הקטע או נקודות הקצה של הקטע), לרבות נקודות הקצה ('''קטע סגור'''), למעט שתי נקודות הקצה ('''קטע פתוח''') או לרבות נקודת קצה אחת ולמעט השנייה (קטע סגור למחצה, או פתוח למחצה).


'''קטע''', ב[[גאומטריה]], '''בהגדרה מוכללת''', הוא קבוצת נקודות על ישר (לרבות הקבוצה הריקה) אשר מכילה את כל הנקודות שבין שתי נקודות כלשהן בקבוצה. בהגדרה המוכללת, הקבוצה הריקה, נקודה בודדת, קרן וכל הישר - גם הם נקראים קטעים.
'''קטע''', ב[[גאומטריה]], '''בהגדרה מוכללת''', הוא קבוצת נקודות על ישר (לרבות הקבוצה הריקה) אשר מכילה את כל הנקודות שבין שתי נקודות כלשהן בקבוצה. בהגדרה המוכללת, הקבוצה הריקה, נקודה בודדת, קרן וכל הישר - גם הם נקראים קטעים.

גרסה מ־21:30, 20 ביולי 2010

בגאומטריה, קטע הוא קבוצת כל הנקודות על ישר אשר נמצאות בין שתי נקודות שונות (הנקראות קצות הקטע או נקודות הקצה של הקטע), לרבות נקודות הקצה (קטע סגור), למעט שתי נקודות הקצה (קטע פתוח) או לרבות נקודת קצה אחת ולמעט השנייה (קטע סגור למחצה, או פתוח למחצה).

קטע, בגאומטריה, בהגדרה מוכללת, הוא קבוצת נקודות על ישר (לרבות הקבוצה הריקה) אשר מכילה את כל הנקודות שבין שתי נקודות כלשהן בקבוצה. בהגדרה המוכללת, הקבוצה הריקה, נקודה בודדת, קרן וכל הישר - גם הם נקראים קטעים.

קטע, במתמטיקה אלמנטרית, הוא קבוצה המכילה כל מספר ממשי בין שני מספרים נתונים, ואפשר שגם את אחד המספרים או את שניהם. לדוגמה, הקטע שמסומן מכיל את כל המספרים הממשיים בין 10 ל-20, לא כולל 10 ו-20. מצד שני, הקטע מכיל כל מספר בין 10 ל-20 וגם את המספרים 10 ו-20. אפשרויות נוספות מופיעות בהמשך.

במתמטיקה גבוהה, ההגדרה הפורמלית (הגדרה מוכללת) של קטע היא: קטע הוא תת קבוצה של קבוצה עם יחס סדר מלא , המקיימת שלכל ו-, אם אזי .

קטעים ממשיים

מקרה פרטי חשוב הוא כאשר , קבוצת המספרים הממשיים.

קטעים (בהגדרה המוכללת) ב- נחלקים לאחד עשר הסוגים הבאים (כש- ו- הם מספרים ממשיים, ):

  1. (נקרא גם "קטע פתוח", "רווח" או "אינטרוול")
  2. (נקרא "קטע סגור")
  3. (נקראת "קרן פתוחה")
  4. (נקראת "קרן סגורה")
  5. (נקראת "קרן פתוחה")
  6. (נקראת "קרן סגורה")
  7. , הישר הממשי כולו
  8. , הקבוצה הריקה

ו-, היכן שהן מופיעות לעיל, נקראות נקודות קצה או פשוט קצות הקטע. סוגר מרובע מציין שנקודת הקצה שייכת לקטע, וסוגר עגול מציין שלא. למידע נוסף על הסימונים האלה, ראו תורת הקבוצות הנאיבית.

קטעים מהסוגים 1, 5, 7, 9 ו-11 לעיל נקראים קטעים פתוחים (מכיוון שהם קבוצות פתוחות) והקטעים 2, 6, 8, 10 ו-11 נקראים קטעים סגורים (מכיוון שהם קבוצות סגורות).

הקטעים 1, 2, 3, 4, 10 ו-11 נקראים קטעים חסומים והיתר הם קטעים לא חסומים. קטע 10 נקרא גם יחידון או סינגלטון.

האורך של כל אחד מהקטעים החסומים 1, 2, 3 ו-4 הוא .

לקטעים תפקיד חשוב בתורת האינטגרציה, מכיוון שהם הקבוצות הפשוטות ביותר שניתן להגדיר להן בקלות "גודל" או "מידה" או "אורך". את מושג המידה ניתן להרחיב לקבוצות מורכבות יותר, ולקבל את מידת בורל ולבסוף את מידת לבג.

הקטעים מהווים את אוסף תת-הקבוצות הקשירות של הממשיים, וכן את אוסף תת-הקבוצות הקמורות של הממשיים. מכך שתמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קשירה נובע שאם היא פונקציה רציפה ו- הוא קטע, אזי התמונה גם היא קטע. זהו אחד הניסוחים של משפט ערך הביניים.

תבנית:נ