סגור (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הגדרה וכמה תכונות, יש עוד מה להוסיף |
מ עוד כמה תוספות |
||
שורה 6: | שורה 6: | ||
הגדרה אלטרנטיבית ושקולה היא זו: <math>\!\, Cl(S)</math> היא קבוצת כל האיברים של <math>\!\, X</math> שבכל [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שלהם קיים איבר של <math>\!\, S</math> (לא בהכרח שונה מהם). |
הגדרה אלטרנטיבית ושקולה היא זו: <math>\!\, Cl(S)</math> היא קבוצת כל האיברים של <math>\!\, X</math> שבכל [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שלהם קיים איבר של <math>\!\, S</math> (לא בהכרח שונה מהם). |
||
עוד דרך שקולה להגדיר סגור של קבוצה היא באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (בתורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, Cl(A)=\left(Int(A^C)\right)^C</math>. |
|||
==תכונות הנוגעות לסגור== |
==תכונות הנוגעות לסגור== |
||
*כל[[קבוצה סגורה]] שווה לסגור שלה: <math>\!\, A=Cl(A)</math>. |
*כל [[קבוצה סגורה]] שווה לסגור שלה: <math>\!\, A=Cl(A)</math>. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן <math>\!\, Cl(A)=Cl\left(Cl(A)\right)</math>. |
||
*<math>\!\, |
*<math>\!\, A\subseteq B \rArr Cl(A)\subseteq Cl(B)</math>. |
||
*<math>\!\, Cl\left(A\cap B\right)\subseteq Cl(A)\cap Cl(B)</math>. |
|||
*<math>\!\, Cl\left(A\cup B\right)= Cl(A)\cup Cl(B)</math>. |
|||
*<math>\!\, f</math> היא [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>\!\, A</math> בתחום שלה מתקיים <math>\!\, f\left(Cl(A)\right)\subseteq Cl\left(f(A)\right)</math>. |
*<math>\!\, f</math> היא [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>\!\, A</math> בתחום שלה מתקיים <math>\!\, f\left(Cl(A)\right)\subseteq Cl\left(f(A)\right)</math>. |
||
* אם <math>\!\, A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>\!\, A\subseteq B\subseteq Cl(A)</math> מתקיים שגם <math>\!\, B</math> קבוצה קשירה. |
* אם <math>\!\, A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>\!\, A\subseteq B\subseteq Cl(A)</math> מתקיים שגם <math>\!\, B</math> קבוצה קשירה. |
||
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, Cl(A)=X</math> נקראת [[קבוצה צפופה]]. |
|||
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, Int\left(Cl(A)\right)=\emptyset</math> נקראת [[קבוצה דלילה]]. |
|||
גרסה מ־21:07, 9 באוגוסט 2004
בטופולוגיה, סגור של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
הגדרה פורמלית
יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות , אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי .
הגדרה אלטרנטיבית ושקולה היא זו: היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
עוד דרך שקולה להגדיר סגור של קבוצה היא באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .
תכונות הנוגעות לסגור
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
- .
- .
- .
- היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים .
- אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.