איבר יחידה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־01:10, 17 בספטמבר 2010

במתמטיקה, כאשר על קבוצה מוגדרת פעולה בינארית בין איבריה, איבר יחידה (או איבר נייטרלי) הוא איבר בקבוצה שהפעולה המתבצעת אתו ועם איבר אחר בקבוצה אינה משנה את האיבר האחר.

כאשר נתונים קבוצה $\ S$ ופעולה בינארית, שנסמנה $\ \star$ , המוגדרת על איבריה, אזי:

איבר $\ e\in S$ ייקרא איבר יחידה שמאלי, אם לכל $\ x\in S$ מתקיים $\ e\star x=x$ .
איבר $\ e\in S$ ייקרא איבר יחידה ימני, אם לכל $\ x\in S$ מתקיים $\ x\star e=x$ .

אם $\ e$ הוא איבר יחידה שמאלי וגם איבר יחידה ימני, הוא ייקרא בפשטות איבר היחידה.

נניח כי $\ e,e^{\prime }$ איברי יחידה, אז $\ e=e\star e^{\prime }=e^{\prime }$ ומכאן שאם ישנו איבר יחידה, אז הוא בהכרח יחיד.

במבנים אלגבריים רבים, כגון חבורה, חוג ושדה, קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.

דוגמאות

בפעולת החיבור המקובלת, איבר היחידה הוא 0, משום שלכל מספר a מתקיים: a+0 = 0+a = a. איבר יחידה זה קרוי איבר האפס.
בפעולת הכפל המקובלת, איבר היחידה הוא 1, משום שלכל מספר a מתקיים: a × 1 = 1 × a = a.
בכפל מטריצות איבר היחידה הוא מטריצת היחידה $\ I$ , שהיא המטריצה שרכיבי האלכסון שלה הם 1 ושאר הרכיבים אפס, המקיימת: $\ A\cdot I=I\cdot A=A$ .
בפעולת איחוד בין קבוצות, איבר היחידה הוא הקבוצה הריקה.
בהרכבת פונקציות, איבר היחידה הוא פונקציית הזהות.

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 * איבר <math>\ e\in S</math> ייקרא איבר יחידה ימני, אם לכל <math>\ x\in S</math> מתקיים <math>\ x\star e =x</math>.
 אם <math>\ e</math> הוא איבר יחידה שמאלי וגם איבר יחידה ימני, הוא ייקרא בפשטות איבר היחידה.
+נניח כי <math>\ e, e^\prime</math> איברי יחידה, אז <math>\ e = e\star e^\prime = e^\prime</math> ומכאן שאם ישנו איבר יחידה, אז הוא בהכרח יחיד.
 ב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] רבים, כגון [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] ו[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.